Die Oberfläche der Kugel
Eine Kugel hat den Radius 5 cm. Welcher ebene Schnitt hat die größte Schnittfläche?
Erklärung: Der Schnitt durch den Mittelpunkt heißt Großkreis und hat den Kugelradius r = 5 cm, Fläche 25π. Je weiter die Ebene vom Mittelpunkt entfernt ist, desto kleiner wird der Schnittkreis: Abstand 3 cm gibt Radius 4 cm, Abstand 4 cm gibt Radius 3 cm.
Eine Ebene im Abstand 3 cm vom Mittelpunkt schneidet aus der Kugel (r = 5 cm) einen Großkreis.
Erklärung: Ein Großkreis entsteht nur bei einem Schnitt durch den Mittelpunkt. Im Abstand 3 cm ist der Schnittkreis kleiner: ρ² = 25 − 9 = 16, also ρ = 4 cm statt 5 cm.
Eine Kugel hat den Radius 7 cm. Wie groß ist die Fläche eines Großkreises (in cm², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Der Großkreis hat den Radius r = 7 cm: A = π · r² = π · 49 ≈ 153,9 cm².
Ein Großkreis einer Kugel hat die Fläche 30 cm². Wie groß ist die Kugeloberfläche (in cm²)?
Erklärung: Die Kugeloberfläche ist so groß wie vier Großkreise: O = 4 · 30 cm² = 120 cm².
Wie groß ist die Oberfläche dieser Kugel?
Erklärung: O = 4 · π · r² = 4 · π · 36 = 144π ≈ 452,4 cm². 904,8 ist der Zahlenwert des Volumens (in cm³, nicht cm²), 226,2 cm² wären nur zwei Großkreise (2πr²).
Eine Kugel mit dem Durchmesser 10 cm hat die Oberfläche 4 · π · 5² ≈ 314,2 cm².
Erklärung: In die Formel gehört der Radius r = 5 cm, nicht der Durchmesser 10 cm: O = 4 · π · 25 ≈ 314,2 cm². Mit d = 10 statt r = 5 käme 1256,6 cm² heraus, das Vierfache.
Berechne die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius 4 cm (in cm², auf 0,1 genau).
Erklärung: O = 4 · π · r² = 4 · π · 16 = 64π ≈ 201,1 cm².
Ein kugelförmiger Fußball hat den Durchmesser 22 cm. Wie viel cm² Leder decken seine Oberfläche (auf ganze cm² genau)?
Erklärung: Radius r = 11 cm. O = 4 · π · 121 = 484π ≈ 1520,5 cm², also etwa 1521 cm².
Eine massive Halbkugel hat den Radius 6 cm. Wie groß ist ihre gesamte Oberfläche?
Erklärung: Die gewölbte Fläche ist die halbe Kugeloberfläche, 2πr² = 72π. Dazu kommt der ebene Kreis πr² = 36π: zusammen 3πr² = 108π ≈ 339,3 cm². 226,2 cm² vergisst den Deckel, 452,4 cm² ist die ganze Kugel.
Die Außenfläche der offenen Halbkugelschale mit r = 10 cm beträgt 3 · π · 100 ≈ 942,5 cm².
Erklärung: Bei der offenen Schale gibt es keinen ebenen Deckel. Die Außenfläche ist nur die gewölbte Fläche: 2 · π · 100 ≈ 628,3 cm².
Wie groß ist die gewölbte Fläche einer Halbkugel mit dem Radius 5 cm (in cm², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Die halbe Kugeloberfläche: 2 · π · r² = 2 · π · 25 ≈ 157,1 cm².
Eine halbkugelförmige Kuppel mit dem Radius 8 m wird außen gestrichen (ohne Boden). Wie viele m² sind das (auf 0,1 m² genau)?
Erklärung: Nur die gewölbte Fläche zählt: 2 · π · 8² = 128π ≈ 402,1 m².
Die Oberfläche einer Kugel mit r = 6 cm wird in viele winzige, fast ebene Stücke zerlegt, jedes wird mit dem Mittelpunkt verbunden. Wie hoch sind diese kleinen Pyramiden ungefähr?
Erklärung: Die Spitze liegt im Mittelpunkt, die Grundfläche fast auf der Kugeloberfläche: Die Höhe ist der Abstand Mittelpunkt–Oberfläche, also r = 6 cm. 12 cm ist der Durchmesser, 3 cm der halbe Radius.
Eine Kugel mit r = 6 cm hat die Oberfläche 144π cm². Dann ist ⅓ · 144π · 6 ihr Volumen.
Erklärung: Alle kleinen Pyramiden haben zusammen das Volumen V = ⅓ · (G₁ + G₂ + …) · r = ⅓ · O · r. Mit O = 144π und r = 6 ist das 288π, und das ist tatsächlich ⁴⁄₃ · π · 6³.
Eine Kugel hat die Oberfläche 144π cm² und den Radius 6 cm. Berechne mit V = ⅓ · O · r ihr Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = ⅓ · 144π · 6 = 288π ≈ 904,8 cm³.
Eine Kugel mit r = 9 cm hat das Volumen 972π cm³. Bestimme ihre Oberfläche aus V = ⅓ · O · r (in cm², auf 0,1 genau).
Erklärung: O = 3V : r = 3 · 972π : 9 = 324π ≈ 1017,9 cm². Zur Probe: 4π · 81 = 324π.
Zerlege eine Kugel mit dem Radius r = 9 cm in viele kleine Pyramiden mit der Spitze im Mittelpunkt. Skizziere das, leite aus V = ⅓ · O · r die Oberfläche her und berechne sie. Prüfe dein Ergebnis mit der Regel O = 4 · Großkreis.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: O = 3V : r = 324π ≈ 1017,9 cm²; Kontrolle: 4 · π · 9² = 324π.