Das Volumen der Kugel
Welcher Körper hat in jeder Höhe über der Grundfläche dieselbe Schnittfläche wie die Halbkugel mit r = 6 cm?
Erklärung: In der Höhe x hat die Halbkugel die Schnittfläche π(6² − x²), der Zylinder ohne Kegel den Kreisring π · 6² − π · x², also dieselbe. Der volle Zylinder hat überall π · 36, der Kegel nur π · x².
In der Höhe x = 3 cm haben die Halbkugel und der volle Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm) gleich große Schnittflächen.
Erklärung: Die Halbkugel hat in x = 3 cm die Schnittfläche π(36 − 9) = 27π ≈ 84,8 cm², der volle Zylinder π · 36 ≈ 113,1 cm². Erst der Zylinder ohne Kegel hat wie die Halbkugel 27π.
Ganz oben, in der Höhe x = r, haben die Halbkugel und der Zylinder ohne Kegel beide die Schnittfläche null.
Erklärung: Halbkugel: π(r² − r²) = 0, denn oben ist nur noch der Pol. Zylinder ohne Kegel: der Kegel füllt die ganze Deckfläche aus, der Kreisring hat die Breite r − r = 0.
Der Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm) hat den Kegel herausgebohrt. Wie groß ist die Schnittfläche in der Höhe x = 3 cm (in cm², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Kreisring: äußerer Radius 6 cm, innerer Radius x = 3 cm. A = π · 36 − π · 9 = 27π ≈ 84,8 cm².
Eine Halbkugel hat den Radius 5 cm. Wie groß ist ihre waagrechte Schnittfläche in der Höhe x = 4 cm (in cm², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Der Schnittkreis hat den Radius ρ mit ρ² = 5² − 4² = 9, also ρ = 3 cm. A = π · 9 ≈ 28,3 cm² (gleich π(r² − x²)).
Erkläre mit einer Skizze des Achsenschnitts, warum eine Halbkugel mit r = 6 cm dasselbe Volumen hat wie ein Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm), aus dem ein Kegel herausgebohrt ist. Berechne damit das Volumen der Halbkugel und der ganzen Kugel.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: A(Halbkugel) = π(36 − x²) = A(Ring); V(Halbkugel) = 144π ≈ 452,4 cm³; V(Kugel) = 288π ≈ 904,8 cm³.
Wie groß ist das Volumen dieser Kugel?
Erklärung: V = ⁴⁄₃ · π · r³ = ⁴⁄₃ · π · 216 = 288π ≈ 904,8 cm³. 452,4 ist der Zahlenwert der Oberfläche 4πr² (in cm², nicht cm³); 678,6 cm³ ist π · r³, der Faktor ⁴⁄₃ fehlt.
Ein Ball hat den Durchmesser 10 cm. Wie groß ist sein Volumen?
Erklärung: Erst den Radius: r = 5 cm. V = ⁴⁄₃ · π · 5³ ≈ 523,6 cm³. 4188,8 cm³ setzt d = 10 als Radius ein, 104,7 cm³ quadriert r nur.
Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius 4 cm (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = ⁴⁄₃ · π · 4³ = ⁴⁄₃ · π · 64 ≈ 268,1 cm³.
Ein kugelförmiger Wasserballon hat den Durchmesser 30 cm. Wie viele Liter Wasser passen hinein (1 l = 1000 cm³, auf 0,1 l genau)?
Erklärung: Radius r = 15 cm. V = ⁴⁄₃ · π · 15³ = 4500π ≈ 14 137 cm³ ≈ 14,1 l.
Wie groß ist das Volumen dieser Halbkugel?
Erklärung: V = ⅔ · π · r³ = ⅔ · π · 729 = 486π ≈ 1526,8 cm³. 3053,6 cm³ ist die ganze Kugel, 2290,2 cm³ ist π · r³, der volle Zylinder ohne den Kegel abzuziehen.
Ein Zylinder mit r = 4 cm und h = 4 cm hat das Volumen 64π cm³. Die Halbkugel mit r = 4 cm hat davon ein Drittel.
Erklärung: Ein Drittel von 64π wäre der Kegel. Die Halbkugel ist Zylinder minus Kegel: 64π − ⅓ · 64π = ⅔ · 64π = ¹²⁸⁄₃π ≈ 134,0 cm³.
Berechne das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius 3 cm (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = ⅔ · π · 3³ = ⅔ · π · 27 = 18π ≈ 56,5 cm³.
Eine halbkugelförmige Schüssel hat den Innenradius 12 cm. Wie viele Liter Wasser passen randvoll hinein (auf 0,1 l genau)?
Erklärung: V = ⅔ · π · 12³ = ⅔ · π · 1728 = 1152π ≈ 3619 cm³ ≈ 3,6 l.
Eine Kugel hat das Volumen 36π cm³. Welchen Radius hat sie?
Erklärung: ⁴⁄₃ · π · r³ = 36π ergibt r³ = 27, also r = 3 cm. Bei 6 cm wäre V = 288π, bei 9 cm sogar 972π.
Eine Kugel mit dem Volumen 288π cm³ hat den Radius 6 cm.
Erklärung: Probe: ⁴⁄₃ · π · 6³ = ⁴⁄₃ · π · 216 = 288π. Der Radius steckt hoch drei in der Formel, also braucht man die dritte Wurzel: r³ = 3 · 288 : 4 = 216.
Eine Kugel hat das Volumen 972π cm³. Berechne ihren Radius (in cm).
Erklärung: ⁴⁄₃ · r³ = 972 ergibt r³ = 972 · 3 : 4 = 729, also r = ∛729 = 9 cm.
Ein kugelförmiger Gastank fasst 33,5 m³. Berechne seinen Radius (in m, auf 0,1 genau).
Erklärung: ⁴⁄₃ · π · r³ = 33,5 ergibt r³ = 3 · 33,5 : (4π) ≈ 8,0, also r ≈ 2,0 m.