Das Volumen der Kugel

The Volume of the Sphere

Mathematik Klasse 10 18 Aufgaben

GeometrieRaumgeometrieKugelVolumenQuerschnitt

Das Volumen der Kugel V = ⁴⁄₃ · π · r³ wird plausibel, wenn man eine Halbkugel mit einem Zylinder (r, Höhe r) vergleicht, aus dem ein Kegel herausgebohrt ist: In jeder Höhe x haben beide die Schnittfläche π(r² − x²), nach Cavalieri also dasselbe Volumen ⅔πr³. Der Radius geht mit dem Exponenten 3 ein; ist der Durchmesser gegeben, wird er zuerst halbiert. Räumt die Verwechslung von r² und r³ sowie von Volumen und Oberfläche aus. Bereitet die Oberfläche der Kugel und zusammengesetzte Körper vor.

Der Vergleichskörper

Das Volumen der Kugel begründen wir durch einen Vergleich. Wir nehmen die Halbkugel mit dem Radius r und stellen daneben einen Zylinder mit demselben Radius und der Höhe r, aus dem ein Kegel herausgebohrt ist. Seine Spitze liegt in der Mitte der Grundfläche, seine Deckfläche ist die Deckfläche des Zylinders.

Schneide beide Körper in der Höhe x über der Grundfläche waagrecht durch. Die Halbkugel liefert einen Kreis; sein Radius ρ folgt im Achsenschnitt aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse r: ρ² = r² − x². Der Vergleichskörper liefert einen Kreisring mit dem äußeren Radius r und dem inneren Radius x, denn der Kegel ist so hoch wie breit. Beide Schnittflächen sind gleich groß, in jeder Höhe x:

$π (r^{2} - x^{2}) = π r^{2} - π x^{2}$

Sind zwei Körper gleich hoch und haben sie in jeder Höhe gleich große Schnittflächen, haben sie nach dem Prinzip von Cavalieri dasselbe Volumen.

Verändere die Höhe x. Vergleiche die beiden Werte

A_{H}

und

A_{R}

Die Formel

Der Zylinder hat das Volumen $π r^{2} \cdot r = π r^{3}$ , der Kegel ein Drittel davon. Für die Halbkugel bleibt

$V_{Halbkugel} = π r^{3} - \frac{1}{3} π r^{3} = \frac{2}{3} π r^{3} V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot π r^{3}$

Der Radius geht mit dem Exponenten 3 ein, denn ein Volumen misst drei Längen. Beispiel r = 6 cm: $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 216 = 288 π \approx 904, 8 cm^{3}$ . Ist der Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst: d = 12 cm heißt r = 6 cm. Rückwärts: Aus V = 288π folgt r³ = 3V : (4π) = 216, also r = 6 cm.

Zylinder ohne Kegel ist eine Halbkugel: πr³ − ⅓πr³ = ⅔πr³.

Voraussetzungen (1)

Rotationskörper

Klasse 10

›

Ermöglicht (1)

Die Oberfläche der Kugel

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Körper hat in jeder Höhe über der Grundfläche dieselbe Schnittfläche wie die Halbkugel mit r = 6 cm?

● Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm) ohne Kegel
○ Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm)
○ Kegel (r = 6 cm, h = 6 cm)

In der Höhe x hat die Halbkugel die Schnittfläche π(6² − x²), der Zylinder ohne Kegel den Kreisring π · 6² − π · x², also dieselbe. Der volle Zylinder hat überall π · 36, der Kegel nur π · x².

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

In der Höhe x = 3 cm haben die Halbkugel und der volle Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm) gleich große Schnittflächen.

✓ Falsch

Die Halbkugel hat in x = 3 cm die Schnittfläche π(36 − 9) = 27π ≈ 84,8 cm², der volle Zylinder π · 36 ≈ 113,1 cm². Erst der Zylinder ohne Kegel hat wie die Halbkugel 27π.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Ganz oben, in der Höhe x = r, haben die Halbkugel und der Zylinder ohne Kegel beide die Schnittfläche null.

✓ Wahr

Halbkugel: π(r² − r²) = 0, denn oben ist nur noch der Pol. Zylinder ohne Kegel: der Kegel füllt die ganze Deckfläche aus, der Kreisring hat die Breite r − r = 0.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie groß ist das Volumen dieser Kugel?

● 904,8 cm³
○ 452,4 cm³
○ 678,6 cm³

V = ⁴⁄₃ · π · r³ = ⁴⁄₃ · π · 216 = 288π ≈ 904,8 cm³. 452,4 ist der Zahlenwert der Oberfläche 4πr² (in cm², nicht cm³); 678,6 cm³ ist π · r³, der Faktor ⁴⁄₃ fehlt.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Ball hat den Durchmesser 10 cm. Wie groß ist sein Volumen?

● 523,6 cm³
○ 4188,8 cm³
○ 104,7 cm³

Erst den Radius: r = 5 cm. V = ⁴⁄₃ · π · 5³ ≈ 523,6 cm³. 4188,8 cm³ setzt d = 10 als Radius ein, 104,7 cm³ quadriert r nur.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie groß ist das Volumen dieser Halbkugel?

● 1526,8 cm³
○ 3053,6 cm³
○ 2290,2 cm³

V = ⅔ · π · r³ = ⅔ · π · 729 = 486π ≈ 1526,8 cm³. 3053,6 cm³ ist die ganze Kugel, 2290,2 cm³ ist π · r³, der volle Zylinder ohne den Kegel abzuziehen.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Ein Zylinder mit r = 4 cm und h = 4 cm hat das Volumen 64π cm³. Die Halbkugel mit r = 4 cm hat davon ein Drittel.

✓ Falsch

Ein Drittel von 64π wäre der Kegel. Die Halbkugel ist Zylinder minus Kegel: 64π − ⅓ · 64π = ⅔ · 64π = ¹²⁸⁄₃π ≈ 134,0 cm³.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Eine Kugel hat das Volumen 36π cm³. Welchen Radius hat sie?

● 3 cm
○ 6 cm
○ 9 cm

⁴⁄₃ · π · r³ = 36π ergibt r³ = 27, also r = 3 cm. Bei 6 cm wäre V = 288π, bei 9 cm sogar 972π.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Eine Kugel mit dem Volumen 288π cm³ hat den Radius 6 cm.

✓ Wahr

Probe: ⁴⁄₃ · π · 6³ = ⁴⁄₃ · π · 216 = 288π. Der Radius steckt hoch drei in der Formel, also braucht man die dritte Wurzel: r³ = 3 · 288 : 4 = 216.

Mittel

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm) hat den Kegel herausgebohrt. Wie groß ist die Schnittfläche in der Höhe x = 3 cm (in cm², auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 84.8

Kreisring: äußerer Radius 6 cm, innerer Radius x = 3 cm. A = π · 36 − π · 9 = 27π ≈ 84,8 cm².

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius 4 cm (in cm³, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 268.1

V = ⁴⁄₃ · π · 4³ = ⁴⁄₃ · π · 64 ≈ 268,1 cm³.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius 3 cm (in cm³, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 56.5

V = ⅔ · π · 3³ = ⅔ · π · 27 = 18π ≈ 56,5 cm³.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Eine Kugel hat das Volumen 972π cm³. Berechne ihren Radius (in cm).

✓ Antwort: 9

⁴⁄₃ · r³ = 972 ergibt r³ = 972 · 3 : 4 = 729, also r = ∛729 = 9 cm.

Schwer

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Eine Halbkugel hat den Radius 5 cm. Wie groß ist ihre waagrechte Schnittfläche in der Höhe x = 4 cm (in cm², auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 28.3

Der Schnittkreis hat den Radius ρ mit ρ² = 5² − 4² = 9, also ρ = 3 cm. A = π · 9 ≈ 28,3 cm² (gleich π(r² − x²)).

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Erkläre mit einer Skizze des Achsenschnitts, warum eine Halbkugel mit r = 6 cm dasselbe Volumen hat wie ein Zylinder (r = 6 cm, h = 6 cm), aus dem ein Kegel herausgebohrt ist. Berechne damit das Volumen der Halbkugel und der ganzen Kugel. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Halbkugel neben Zylinder ohne Kegel. Schnitt in der Höhe x: Halbkugel ρ² = 36 − x², A = π(36 − x²); Zylinder ohne Kegel A = π · 36 − π · x². Gleiche Schnittflächen in jeder Höhe, gleiche Höhe: nach Cavalieri gleiches Volumen. V(Halbkugel) = π · 36 · 6 − ⅓ · π · 36 · 6 = 216π − 72π = 144π ≈ 452,4 cm³, V(Kugel) = 288π ≈ 904,8 cm³.

A(Halbkugel) = π(36 − x²) = A(Ring); V(Halbkugel) = 144π ≈ 452,4 cm³; V(Kugel) = 288π ≈ 904,8 cm³.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Ein kugelförmiger Wasserballon hat den Durchmesser 30 cm. Wie viele Liter Wasser passen hinein (1 l = 1000 cm³, auf 0,1 l genau)?

✓ Antwort: 14.1

Radius r = 15 cm. V = ⁴⁄₃ · π · 15³ = 4500π ≈ 14 137 cm³ ≈ 14,1 l.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Eine halbkugelförmige Schüssel hat den Innenradius 12 cm. Wie viele Liter Wasser passen randvoll hinein (auf 0,1 l genau)?

✓ Antwort: 3.6

V = ⅔ · π · 12³ = ⅔ · π · 1728 = 1152π ≈ 3619 cm³ ≈ 3,6 l.

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Ein kugelförmiger Gastank fasst 33,5 m³. Berechne seinen Radius (in m, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 2

⁴⁄₃ · π · r³ = 33,5 ergibt r³ = 3 · 33,5 : (4π) ≈ 8,0, also r ≈ 2,0 m.