Längen im KÜrper
Eine Ebene schneidet eine Kugel mit R = 13 cm im Abstand d = 5 cm vom Mittelpunkt. Welche Rechnung liefert den Radius Ď des Schnittkreises?
Erklärung: Im Achsenschnitt ist R die Hypotenuse, d und Ď sind die Katheten: R² = d² + Ď², also Ď² = 13² â 5² = 144 und Ď = 12 cm. Plus wäre die Hypotenuse, und 13 â 5 = 8 subtrahiert die Längen statt der Quadrate.
Eine Kugel mit R = 13 cm wird im Abstand d = 5 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Im Dreieck aus Kugelmittelpunkt, Mittelpunkt des Schnittkreises und Randpunkt gilt dann 5² + Ď² = 13².
Erklärung: Der rechte Winkel liegt beim Mittelpunkt des Schnittkreises, denn die Schnittebene steht senkrecht auf dem Abstand d. Die Katheten sind d = 5 cm und Ď, die Hypotenuse ist die Strecke vom Kugelmittelpunkt zum Rand: R = 13 cm. Also 5² + Ď² = 13² und Ď = 12 cm.
Ein Kegel hat die HĂśhe h = 12 cm und die Mantellinie s = 13 cm. Wie groĂ ist sein Radius r (in cm)?
Erklärung: Im Achsenschnitt ist s die Hypotenuse: r² = s² â h² = 169 â 144 = 25, also r = 5 cm.
Ein Kegel hat r = 6 cm und h = 8 cm. Wie groĂ ist der Umfang seines Achsenschnitts (in cm)?
Erklärung: Der Achsenschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 2r = 12 cm und den Schenkeln s = â(36 + 64) = 10 cm: U = 12 + 10 + 10 = 32 cm.
Eine Kugel mit dem Radius 5 cm wird im Abstand 3 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Welchen Radius hat der Schnittkreis?
Erklärung: Ď² = R² â d² = 25 â 9 = 16, also Ď = 4 cm. 2 cm ist R â d, 5,8 cm entsteht mit R² + d² (â34) und ist sogar grĂśĂer als der Kugelradius.
Eine Ebene im Abstand 6 cm vom Mittelpunkt einer Kugel mit R = 5 cm schneidet die Kugel nicht.
Erklärung: Der Abstand ist grĂśĂer als der Radius, die Ebene läuft an der Kugel vorbei. Rechnerisch käme Ď² = 25 â 36 = â11 heraus, und das gibt es nicht.
Eine Kugel mit R = 13 cm wird im Abstand 5 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Wie groĂ ist der Radius des Schnittkreises (in cm)?
Erklärung: Ď² = R² â d² = 169 â 25 = 144, also Ď = 12 cm.
Eine Kugel mit R = 25 cm wird im Abstand 7 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Wie groà ist die Fläche des Schnittkreises (in cm², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Ď² = 25² â 7² = 625 â 49 = 576 (Ď = 24 cm). A = Ď Âˇ Ď² = 576Ď â 1809,6 cm².
Ein Zylinder mit der HĂśhe 10 cm steckt so in einer Kugel (R = 13 cm), dass Ober- und Unterkreis auf der Kugel liegen. Welchen Radius hat der Zylinder?
Erklärung: Vom Mittelpunkt zur Rechteckecke: R² = r² + (h/2)² mit der halben HĂśhe 5 cm. r² = 169 â 25 = 144, r = 12 cm. 8,3 cm ergibt sich, wenn man die ganze HĂśhe 10 statt 5 einsetzt (â69), 8 cm ist 13 â 5.
Ein Zylinder mit r = 4 cm und h = 8 cm hat Ober- und Unterkreis auf einer Kugel mit R = 5 cm.
Erklärung: Probe: r² + (h/2)² = 16 + 16 = 32, aber R² = 25. Die Zylinderkanten ragen aus der Kugel heraus. Mit h = 6 cm ginge es genau auf: 16 + 9 = 25.
Ein Zylinder der HĂśhe 30 cm steckt in einer Kugel mit R = 17 cm (Ober- und Unterkreis auf der Kugel). Wie groĂ ist sein Radius (in cm)?
Erklärung: r² = R² â (h/2)² = 289 â 15² = 289 â 225 = 64, also r = 8 cm.
Ein Zylinder der HĂśhe 12 cm steckt in einer Kugel mit R = 10 cm (Ober- und Unterkreis auf der Kugel). Berechne sein Volumen (in cmÂł, auf 0,1 genau).
Erklärung: r² = 10² â 6² = 64, also r = 8 cm. V = Ď Âˇ r² ¡ h = Ď Âˇ 64 ¡ 12 = 768Ď â 2412,7 cmÂł.
Ein Zylinder der HĂśhe 16 cm ist so in eine Kugel mit dem Radius 10 cm gesetzt, dass Ober- und Unterkreis auf der Kugel liegen. Skizziere den Achsenschnitt, bestimme den Zylinderradius, berechne das Zylindervolumen und gib an, wie viel Prozent des Kugelvolumens der Zylinder einnimmt.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: r = 6 cm; V(Zylinder) = 576Ď â 1809,6 cmÂł; V(Kugel) â 4188,8 cmÂł; Anteil â 43,2 %.