Längen im Körper

Lengths in a Solid

Mathematik Klasse 10 13 Aufgaben

GeometrieRaumgeometrieSatz des PythagorasKugelQuerschnitt

Längen in Körpern findet man im Achsenschnitt, in dem ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Satz des Pythagoras steckt. Bei der Kugel ist der Kugelradius R die Hypotenuse: Ein Schnittkreis im Abstand d hat den Radius ρ mit ρ² = R² − d², und ein einbeschriebener Zylinder erfüllt R² = r² + (h/2)². Räumt das Addieren von R und d, das Einsetzen der ganzen statt der halben Höhe und das Subtrahieren von Längen statt Quadraten aus. Bereitet Winkel und Strahlensatz im Achsenschnitt vor.

Der Schnittkreis

Für Längen im Körper zeichnen wir den Achsenschnitt und suchen darin ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Ebene im Abstand d vom Mittelpunkt schneidet aus der Kugel einen Kreis mit dem Radius ρ. Im Achsenschnitt entsteht ein rechtwinkliges Dreieck: Die Katheten sind d und ρ, die Hypotenuse ist der Kugelradius R, denn sie führt vom Mittelpunkt zum Rand.

$R^{2} = d^{2} + ρ^{2} \Rightarrow ρ = R^{2} - d^{2}$

Beispiel R = 5 cm, d = 3 cm: $ρ^{2} = 25 - 9 = 16$ , also ρ = 4 cm. Der Schnittkreis ist nie größer als der Großkreis; ab d = R läuft die Ebene an der Kugel vorbei. Beim Kegel ist es genauso: Die Mantellinie s ist die Hypotenuse, also $r^{2} = s^{2} - h^{2}$ .

Verändere d. Wie verändert sich ρ, und welche Seite bleibt immer gleich lang?

Zylinder in der Kugel

Ein Zylinder, dessen Ober- und Unterkreis auf der Kugel liegen, erscheint im Achsenschnitt als Rechteck im Kreis. Vom Mittelpunkt zu einer Rechteckecke führt wieder der Radius R als Hypotenuse. Die Katheten sind der Zylinderradius r und die halbe Höhe:

$R^{2} = r^{2} + (\frac{h}{2})^{2}$

Beispiel R = 5 cm, h = 6 cm: $r^{2} = 25 - 9 = 16$ , also r = 4 cm und $V_{Z} = π \cdot 16 \cdot 6 = 96 π \approx 301, 6 cm^{3}$ . Setzt du die ganze Höhe h statt h/2 ein, stimmt das Dreieck nicht mehr.

Verändere h. Wird der Zylinder mit wachsender Höhe immer größer?

Voraussetzungen (1)

Rotationskörper

Klasse 10

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine Ebene schneidet eine Kugel mit R = 13 cm im Abstand d = 5 cm vom Mittelpunkt. Welche Rechnung liefert den Radius ρ des Schnittkreises?

● ρ² = 13² − 5²
○ ρ² = 13² + 5²
○ ρ = 13 − 5

Im Achsenschnitt ist R die Hypotenuse, d und ρ sind die Katheten: R² = d² + ρ², also ρ² = 13² − 5² = 144 und ρ = 12 cm. Plus wäre die Hypotenuse, und 13 − 5 = 8 subtrahiert die Längen statt der Quadrate.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Eine Kugel mit R = 13 cm wird im Abstand d = 5 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Im Dreieck aus Kugelmittelpunkt, Mittelpunkt des Schnittkreises und Randpunkt gilt dann 5² + ρ² = 13².

✓ Wahr

Der rechte Winkel liegt beim Mittelpunkt des Schnittkreises, denn die Schnittebene steht senkrecht auf dem Abstand d. Die Katheten sind d = 5 cm und ρ, die Hypotenuse ist die Strecke vom Kugelmittelpunkt zum Rand: R = 13 cm. Also 5² + ρ² = 13² und ρ = 12 cm.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Eine Kugel mit dem Radius 5 cm wird im Abstand 3 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Welchen Radius hat der Schnittkreis?

● 4 cm
○ 2 cm
○ 5,8 cm

ρ² = R² − d² = 25 − 9 = 16, also ρ = 4 cm. 2 cm ist R − d, 5,8 cm entsteht mit R² + d² (√34) und ist sogar größer als der Kugelradius.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Eine Ebene im Abstand 6 cm vom Mittelpunkt einer Kugel mit R = 5 cm schneidet die Kugel nicht.

✓ Wahr

Der Abstand ist größer als der Radius, die Ebene läuft an der Kugel vorbei. Rechnerisch käme ρ² = 25 − 36 = −11 heraus, und das gibt es nicht.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Zylinder mit der Höhe 10 cm steckt so in einer Kugel (R = 13 cm), dass Ober- und Unterkreis auf der Kugel liegen. Welchen Radius hat der Zylinder?

● 12 cm
○ 8,3 cm
○ 8 cm

Vom Mittelpunkt zur Rechteckecke: R² = r² + (h/2)² mit der halben Höhe 5 cm. r² = 169 − 25 = 144, r = 12 cm. 8,3 cm ergibt sich, wenn man die ganze Höhe 10 statt 5 einsetzt (√69), 8 cm ist 13 − 5.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Zylinder mit r = 4 cm und h = 8 cm hat Ober- und Unterkreis auf einer Kugel mit R = 5 cm.

✓ Falsch

Probe: r² + (h/2)² = 16 + 16 = 32, aber R² = 25. Die Zylinderkanten ragen aus der Kugel heraus. Mit h = 6 cm ginge es genau auf: 16 + 9 = 25.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Kegel hat die Höhe h = 12 cm und die Mantellinie s = 13 cm. Wie groß ist sein Radius r (in cm)?

✓ Antwort: 5

Im Achsenschnitt ist s die Hypotenuse: r² = s² − h² = 169 − 144 = 25, also r = 5 cm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Kugel mit R = 13 cm wird im Abstand 5 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Wie groß ist der Radius des Schnittkreises (in cm)?

✓ Antwort: 12

ρ² = R² − d² = 169 − 25 = 144, also ρ = 12 cm.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Ein Zylinder der Höhe 30 cm steckt in einer Kugel mit R = 17 cm (Ober- und Unterkreis auf der Kugel). Wie groß ist sein Radius (in cm)?

✓ Antwort: 8

r² = R² − (h/2)² = 289 − 15² = 289 − 225 = 64, also r = 8 cm.

Schwer

Zahleneingabe #1 50s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 6 cm und h = 8 cm. Wie groß ist der Umfang seines Achsenschnitts (in cm)?

✓ Antwort: 32

Der Achsenschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 2r = 12 cm und den Schenkeln s = √(36 + 64) = 10 cm: U = 12 + 10 + 10 = 32 cm.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Eine Kugel mit R = 25 cm wird im Abstand 7 cm vom Mittelpunkt geschnitten. Wie groß ist die Fläche des Schnittkreises (in cm², auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 1809.6

ρ² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576 (ρ = 24 cm). A = π · ρ² = 576π ≈ 1809,6 cm².

Zahleneingabe #3 70s ▶ Testen

Ein Zylinder der Höhe 12 cm steckt in einer Kugel mit R = 10 cm (Ober- und Unterkreis auf der Kugel). Berechne sein Volumen (in cm³, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 2412.7

r² = 10² − 6² = 64, also r = 8 cm. V = π · r² · h = π · 64 · 12 = 768π ≈ 2412,7 cm³.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Zylinder der Höhe 16 cm ist so in eine Kugel mit dem Radius 10 cm gesetzt, dass Ober- und Unterkreis auf der Kugel liegen. Skizziere den Achsenschnitt, bestimme den Zylinderradius, berechne das Zylindervolumen und gib an, wie viel Prozent des Kugelvolumens der Zylinder einnimmt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Achsenschnitt: Kreis R = 10 cm mit eingeschriebenem Rechteck der Höhe 16 cm; rechtwinkliges Dreieck mit R als Hypotenuse und den Katheten r und h/2 = 8 cm. r² = 100 − 64 = 36, r = 6 cm. V(Zylinder) = π · 36 · 16 = 576π ≈ 1809,6 cm³. V(Kugel) = ⁴⁄₃ · π · 1000 ≈ 4188,8 cm³. Anteil ≈ 43,2 %.

r = 6 cm; V(Zylinder) = 576π ≈ 1809,6 cm³; V(Kugel) ≈ 4188,8 cm³; Anteil ≈ 43,2 %.