Lösungswege prüfen und vergleichen
Ein Ball mit dem Durchmesser 10 cm passt in einen Würfel mit der Kante 10 cm. Welches berechnete Volumen ist schon nach diesem Überschlag unmöglich?
Erklärung: Der Würfel hat 10³ = 1000 cm³, der Ball passt hinein und ist kleiner. 4188,8 cm³ ist größer: Hier wurde d = 10 cm statt r = 5 cm eingesetzt (4/3 · π · 10³). 523,6 cm³ ist der richtige Wert, 480 cm³ liegt im möglichen Bereich.
Für eine Kugel mit r = 4 cm wurde das Volumen 520 cm³ berechnet. Das kann nicht stimmen, weil die Kugel in einen Würfel mit der Kante 8 cm (512 cm³) passt.
Erklärung: Die Kugel liegt ganz im Würfel, ihr Volumen muss also kleiner als 8³ = 512 cm³ sein. Der richtige Wert ist ⁴⁄₃ · π · 64 ≈ 268,1 cm³, etwa die Hälfte des Würfels.
In einen Würfel passt gerade eine Kugel mit dem Radius 5 cm hinein. Wie groß ist das Volumen des Würfels (in cm³)?
Erklärung: Die Kante ist der Durchmesser 2 · 5 = 10 cm, also V = 10³ = 1000 cm³.
Eine Kugel füllt etwa 52 % des Würfels, in den sie gerade hineinpasst. Schätze das Volumen einer Kugel mit r = 10 cm (in cm³, mit 52 % gerechnet).
Erklärung: Der Würfel hat die Kante 20 cm, V = 8000 cm³. 52 % davon sind 0,52 · 8000 = 4160 cm³ (genau: 4188,8 cm³).
Anna rechnet das Volumen eines Zylinders (r = 5 cm, h = 8 cm) mit herausgebohrtem Kegel als 200π − ²⁰⁰⁄₃π, Ben rechnet ⅔ · 200π. Was kommt heraus?
Erklärung: Der Kegel hat ein Drittel des Zylinders, es bleiben zwei Drittel: 200π − ²⁰⁰⁄₃π = ⅔ · 200π = ⁴⁰⁰⁄₃π ≈ 418,9 cm³. Beide Wege sind dasselbe. 628,3 cm³ ist der volle Zylinder (200π), 209,4 cm³ ein Drittel davon.
Für die Eiswaffel (Kegel mit r = 3 cm und h = 4 cm, Halbkugel r = 3 cm) ist V = ⅓ · π · r² · (h + 3r) = 39π ein zweiter Weg zum Volumen 12π + 18π.
Erklärung: Die Halbkugel ⅔πr³ = ⅓πr² · 2r trägt 2r bei, nicht 3r: V = ⅓ · π · 9 · (4 + 6) = 30π. Mit h + 3r käme 39π heraus und passt nicht zu 12π + 18π = 30π.
Aus einem Zylinder (r = 6 cm, h = 9 cm) wird ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe herausgebohrt. Berechne das Restvolumen (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: V = ⅔ · π · r² · h = ⅔ · π · 36 · 9 = 216π ≈ 678,6 cm³. Dasselbe Ergebnis liefert 324π − 108π.
Berechne das Volumen der Eiswaffel (Kegel r = 4 cm, h = 9 cm, mit aufgesetzter Halbkugel r = 4 cm) in cm³, auf 0,1 genau. Kontrolliere mit einem zweiten Weg.
Erklärung: Kegel: ⅓ · π · 16 · 9 = 48π. Halbkugel: ⅔ · π · 64 = ¹²⁸⁄₃π. Zusammen ²⁷²⁄₃π ≈ 284,8 cm³. Kontrolle mit ⅓πr²(h + 2r) = ⅓ · π · 16 · 17 = ²⁷²⁄₃π.
Ein Holzzylinder (r = 3 cm, h = 8 cm) hat von oben eine kegelförmige Vertiefung mit demselben Radius und derselben Tiefe. Berechne das Volumen des Holzes auf zwei verschiedenen Wegen und vergleiche sie. Dokumentiere mit Skizze, Formel, eingesetzten Werten und Antwortsatz.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Weg 1: 72π − 24π = 48π; Weg 2: ⅔ · 72π = 48π; V ≈ 150,8 cm³.
Eine Kugel hat das Volumen 904,8 cm³. Wie viele Liter sind das?
Erklärung: 1 l = 1000 cm³, also 904,8 cm³ = 0,9048 l. 9,048 l verschiebt das Komma um eine Stelle zu wenig, 904,8 l setzt cm³ mit l gleich.
Für eine Kugel mit r = 4 cm gilt für die Oberfläche: O = 64π cm³.
Erklärung: Eine Oberfläche ist eine Fläche und hat die Einheit cm². Richtig ist O = 64π cm² ≈ 201,1 cm². Die Einheit cm³ gehört zum Volumen.
Wie viele Liter sind 3500 cm³?
Erklärung: 1000 cm³ sind 1 Liter: 3500 : 1000 = 3,5 l.
Eine Kugel mit dem Radius 2,5 cm wird in ein Wasserglas getaucht. Wie viel Milliliter Wasser verdrängt sie (1 cm³ = 1 ml; auf 0,1 ml genau)?
Erklärung: V = ⁴⁄₃ · π · 2,5³ = ⁴⁄₃ · π · 15,625 ≈ 65,45 cm³. Mit 1 cm³ = 1 ml sind das etwa 65,4 ml. Gerundet wird erst am Ende.