Lösungswege prüfen und vergleichen

Checking and Comparing Solution Paths

Mathematik Klasse 10 13 Aufgaben

GeometrieRaumgeometrieVolumenOberflächeZusammengesetzte Körper

Ein Ergebnis ist erst fertig, wenn es geprüft ist: Die Kugel passt in den Würfel der Kante 2r (V ≤ 8r³) und füllt davon etwa 52 % (π/6); ein Ergebnis darüber ist falsch. Oft führen zwei Wege zum selben Wert (Differenz gegen direkte Formel ⅔πr²h, Summe gegen ⅓πr²(h + 2r)), und der Vergleich ist eine Kontrolle. Zur Dokumentation gehören Skizze, Formel, Einsetzen, Einheit (cm², cm³, 1 l = 1000 cm³) und Antwortsatz; gerundet wird zuletzt. Räumt das Übersehen unmöglicher Ergebnisse und das Vermischen von Einheiten aus. Schließt den Lesetext ab.

Ein Ergebnis ist erst fertig, wenn du es geprüft hast. Die erste Prüfung ist der Größenüberschlag: Die Kugel mit dem Radius r passt in den Würfel mit der Kante 2r, der das Volumen 8r³ hat. Die Kugel füllt davon $\frac{π}{6} \approx 52 %$ . Für r = 5 cm hat der Würfel 1000 cm³, die Kugel 523,6 cm³. Ein Ergebnis über 1000 cm³, etwa 4188,8 cm³ mit dem Durchmesser als Radius, ist unmöglich.

Die zweite Prüfung ist ein zweiter Weg. Ein Zylinder (r = 5 cm, h = 8 cm) mit herausgebohrtem Kegel hat $200 π - \frac{200}{3} π$ ; direkt gerechnet ist es $\frac{2}{3} \cdot 200 π$ , beide Male 418,9 cm³. Bei der Eiswaffel liefert Ausklammern einen zweiten Weg: $\frac{1}{3} π r^{2} h + \frac{2}{3} π r^{3} = \frac{1}{3} π r^{2} (h + 2 r)$ . Stimmen zwei Wege überein, ist das Ergebnis sehr wahrscheinlich richtig.

Zur Dokumentation gehören Skizze, Formel, eingesetzte Werte, Ergebnis mit Einheit und ein Antwortsatz. Flächen haben die Einheit cm², Volumina cm³; 1000 cm³ sind 1 Liter. Gerundet wird erst am Ende. So ist V = 904,8 cm³ ein Volumen von etwa 0,9 Litern.

Verändere r. Wie groß ist der Anteil

V_{K}

V_{W}

, und ändert er sich?

Voraussetzungen (1)

Zusammengesetzte Körper

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Ball mit dem Durchmesser 10 cm passt in einen Würfel mit der Kante 10 cm. Welches berechnete Volumen ist schon nach diesem Überschlag unmöglich?

● 4188,8 cm³
○ 523,6 cm³
○ 480 cm³

Der Würfel hat 10³ = 1000 cm³, der Ball passt hinein und ist kleiner. 4188,8 cm³ ist größer: Hier wurde d = 10 cm statt r = 5 cm eingesetzt (4/3 · π · 10³). 523,6 cm³ ist der richtige Wert, 480 cm³ liegt im möglichen Bereich.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für eine Kugel mit r = 4 cm wurde das Volumen 520 cm³ berechnet. Das kann nicht stimmen, weil die Kugel in einen Würfel mit der Kante 8 cm (512 cm³) passt.

✓ Wahr

Die Kugel liegt ganz im Würfel, ihr Volumen muss also kleiner als 8³ = 512 cm³ sein. Der richtige Wert ist ⁴⁄₃ · π · 64 ≈ 268,1 cm³, etwa die Hälfte des Würfels.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Anna rechnet das Volumen eines Zylinders (r = 5 cm, h = 8 cm) mit herausgebohrtem Kegel als 200π − ²⁰⁰⁄₃π, Ben rechnet ⅔ · 200π. Was kommt heraus?

● Beide erhalten 418,9 cm³
○ Anna erhält 418,9 cm³, Ben 209,4 cm³
○ Anna erhält 628,3 cm³, Ben 418,9 cm³

Der Kegel hat ein Drittel des Zylinders, es bleiben zwei Drittel: 200π − ²⁰⁰⁄₃π = ⅔ · 200π = ⁴⁰⁰⁄₃π ≈ 418,9 cm³. Beide Wege sind dasselbe. 628,3 cm³ ist der volle Zylinder (200π), 209,4 cm³ ein Drittel davon.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für die Eiswaffel (Kegel mit r = 3 cm und h = 4 cm, Halbkugel r = 3 cm) ist V = ⅓ · π · r² · (h + 3r) = 39π ein zweiter Weg zum Volumen 12π + 18π.

✓ Falsch

Die Halbkugel ⅔πr³ = ⅓πr² · 2r trägt 2r bei, nicht 3r: V = ⅓ · π · 9 · (4 + 6) = 30π. Mit h + 3r käme 39π heraus und passt nicht zu 12π + 18π = 30π.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Eine Kugel hat das Volumen 904,8 cm³. Wie viele Liter sind das?

● 0,9048 l
○ 9,048 l
○ 904,8 l

1 l = 1000 cm³, also 904,8 cm³ = 0,9048 l. 9,048 l verschiebt das Komma um eine Stelle zu wenig, 904,8 l setzt cm³ mit l gleich.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für eine Kugel mit r = 4 cm gilt für die Oberfläche: O = 64π cm³.

✓ Falsch

Eine Oberfläche ist eine Fläche und hat die Einheit cm². Richtig ist O = 64π cm² ≈ 201,1 cm². Die Einheit cm³ gehört zum Volumen.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

In einen Würfel passt gerade eine Kugel mit dem Radius 5 cm hinein. Wie groß ist das Volumen des Würfels (in cm³)?

✓ Antwort: 1000

Die Kante ist der Durchmesser 2 · 5 = 10 cm, also V = 10³ = 1000 cm³.

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Aus einem Zylinder (r = 6 cm, h = 9 cm) wird ein Kegel mit demselben Grundkreis und derselben Höhe herausgebohrt. Berechne das Restvolumen (in cm³, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 678.6

V = ⅔ · π · r² · h = ⅔ · π · 36 · 9 = 216π ≈ 678,6 cm³. Dasselbe Ergebnis liefert 324π − 108π.

Zahleneingabe #3 15s ▶ Testen

Wie viele Liter sind 3500 cm³?

✓ Antwort: 3.5

1000 cm³ sind 1 Liter: 3500 : 1000 = 3,5 l.

Schwer

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Eine Kugel füllt etwa 52 % des Würfels, in den sie gerade hineinpasst. Schätze das Volumen einer Kugel mit r = 10 cm (in cm³, mit 52 % gerechnet).

✓ Antwort: 4160

Der Würfel hat die Kante 20 cm, V = 8000 cm³. 52 % davon sind 0,52 · 8000 = 4160 cm³ (genau: 4188,8 cm³).

Zahleneingabe #2 80s ▶ Testen

Berechne das Volumen der Eiswaffel (Kegel r = 4 cm, h = 9 cm, mit aufgesetzter Halbkugel r = 4 cm) in cm³, auf 0,1 genau. Kontrolliere mit einem zweiten Weg.

✓ Antwort: 284.8

Kegel: ⅓ · π · 16 · 9 = 48π. Halbkugel: ⅔ · π · 64 = ¹²⁸⁄₃π. Zusammen ²⁷²⁄₃π ≈ 284,8 cm³. Kontrolle mit ⅓πr²(h + 2r) = ⅓ · π · 16 · 17 = ²⁷²⁄₃π.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein Holzzylinder (r = 3 cm, h = 8 cm) hat von oben eine kegelförmige Vertiefung mit demselben Radius und derselben Tiefe. Berechne das Volumen des Holzes auf zwei verschiedenen Wegen und vergleiche sie. Dokumentiere mit Skizze, Formel, eingesetzten Werten und Antwortsatz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Achsenschnitt, Zylinder mit Kegel. Weg 1: V = π · 9 · 8 − ⅓ · π · 9 · 8 = 72π − 24π = 48π. Weg 2: V = ⅔ · π · r² · h = ⅔ · 72π = 48π. Beide Wege: 48π ≈ 150,8 cm³. Antwortsatz: Das Holz hat ein Volumen von etwa 150,8 cm³.

Weg 1: 72π − 24π = 48π; Weg 2: ⅔ · 72π = 48π; V ≈ 150,8 cm³.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Eine Kugel mit dem Radius 2,5 cm wird in ein Wasserglas getaucht. Wie viel Milliliter Wasser verdrängt sie (1 cm³ = 1 ml; auf 0,1 ml genau)?

✓ Antwort: 65.4

V = ⁴⁄₃ · π · 2,5³ = ⁴⁄₃ · π · 15,625 ≈ 65,45 cm³. Mit 1 cm³ = 1 ml sind das etwa 65,4 ml. Gerundet wird erst am Ende.