Doppelte Länge, achtfaches Volumen
Der Radius einer Kugel wird von 6 cm auf 12 cm verdoppelt. Mit welchem Faktor wird ihre Oberfläche multipliziert?
Erklärung: Alle Längen ×2 bedeutet Flächen ×2² = 4: O = 4π · 12² = 576π statt 144π. Der Faktor 2 ist die Länge, der Faktor 8 gehört zum Volumen.
Verdreifacht man alle Kanten eines Würfels mit der Kante 2 cm, wird sein Volumen 9-mal so groß.
Erklärung: Das Volumen wächst mit k³ = 3³ = 27: 2³ = 8 cm³ werden zu 6³ = 216 cm³, das ist der 27-fache Wert. Mit 9 = 3² wächst die Oberfläche.
Halbiert man beim Zylinder (r = 4 cm, h = 10 cm) alle Längen, hat der neue Zylinder ein Viertel der Mantelfläche.
Erklärung: Alle Längen ×½ ergibt Flächen ×(½)² = ¼. Die Mantelfläche 2π · 4 · 10 = 80π sinkt auf 2π · 2 · 5 = 20π.
Alle Kanten eines Quaders werden verdoppelt. Mit welchem Faktor wird sein Volumen multipliziert?
Erklärung: Das Volumen misst drei Längen: k³ = 2³ = 8.
Eine Kugel mit r = 5 cm hat die Oberfläche 100π ≈ 314,2 cm². Ihr Radius wird auf 15 cm vergrößert. Wie groß ist die neue Oberfläche (in cm², auf 0,1 genau)?
Erklärung: Der Radius wird 3-mal so groß, also wird die Oberfläche 3² = 9-mal so groß: 9 · 100π = 900π ≈ 2827,4 cm². Zur Probe: 4π · 15² = 900π.
Das Volumen einer Kugel soll 27-mal so groß werden. Um welchen Faktor muss dafür der Radius wachsen?
Erklärung: Das Volumen wächst mit k³, also ist k = ∛27 = 3. Der Faktor 9 wäre k², der Faktor 27 würde den Radius mit dem Volumenfaktor gleichsetzen.
Ist die Oberfläche eines Würfels 16-mal so groß wie die eines kleineren Würfels, so ist seine Kante 4-mal so lang.
Erklärung: Die Oberfläche wächst mit k², also ist k = √16 = 4.
Die Oberfläche einer Kugel wird 25-mal so groß. Um welchen Faktor ist ihr Radius gewachsen?
Erklärung: k² = 25 ergibt k = √25 = 5.
Zwei ähnliche Kegel haben die Volumina 12 cm³ und 324 cm³. Wie viel mal so lang ist jede Strecke im größeren Kegel?
Erklärung: Das Volumenverhältnis ist 324 : 12 = 27. Mit k³ = 27 folgt k = ∛27 = 3.
Ein kugelförmiger Tank soll das 8-fache Volumen fassen. Bestimme, um welchen Faktor sein Radius wachsen muss, und um welchen Faktor dabei die Blechfläche (Oberfläche) wächst. Überprüfe dein Ergebnis an einem Tank mit r = 1 m und dem größeren Tank.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: k = 2, Blechfläche ×4; Probe: r = 1 m: V ≈ 4,19 m³, O ≈ 12,6 m²; r = 2 m: V ≈ 33,5 m³, O ≈ 50,3 m².
Ein Kegelglas (Spitze unten) ist bis zur halben Höhe gefüllt. Welcher Bruchteil des Glasvolumens ist gefüllt?
Erklärung: Die Flüssigkeit ist ein Kegel, ähnlich zum Glas mit k = ½. Das Volumen wächst mit k³ = ⅛. Halbe Höhe wäre nur bei einem Zylinder das halbe Volumen, und ¼ wäre k².
Ein Kegelglas (Spitze unten) ist zu einem Drittel seiner Höhe gefüllt. Dann enthält es ein Drittel der Flüssigkeit, die hineinpasst.
Erklärung: Bei k = ⅓ ist das Volumen (⅓)³ = ¹⁄₂₇ des Glases. Ein Drittel der Höhe ergibt nur 3,7 % der Füllung.
Ein Kegelglas fasst 240 ml. Wie viel ml sind darin, wenn es (mit der Spitze unten) bis zur halben Höhe gefüllt ist?
Erklärung: Halbe Höhe heißt k = ½, das Volumen k³ = ⅛: 240 ml : 8 = 30 ml.
Ein Kegelglas (Spitze unten) ist 12 cm hoch und fasst 200 ml. Bis zu welcher Höhe muss man einschenken, damit genau 25 ml darin sind (in cm)?
Erklärung: 25 ml sind ein Achtel von 200 ml. k³ = ⅛ ergibt k = ½, also die halbe Höhe: 6 cm.