Doppelte Länge, achtfaches Volumen

Double the Length, Eight Times the Volume

Mathematik Klasse 10 14 Aufgaben

GeometrieRaumgeometrieSkalierungÄhnlichkeitVolumenOberfläche

Bei ähnlichen Körpern im Maßstab k wachsen alle Längen mit k, alle Flächen mit k² und alle Volumina mit k³: doppelte Länge bedeutet vierfache Fläche und achtfaches Volumen. Rückwärts folgt k = √(Flächenverhältnis) oder ∛(Volumenverhältnis). Im Kegelglas ist die Flüssigkeit ein Kegel mit k = h′ : h, also enthält die halbe Füllhöhe nur ein Achtel. Räumt die Linearitätsillusion aus, nach der Länge ×k auch Fläche ×k und Volumen ×k bedeute. Bereitet das Prüfen von Lösungswegen und Sachaufgaben vor.

Der Maßstab k

Vergrößerst du einen Körper im Maßstab k, wird jede Länge mit k multipliziert, jede Fläche mit k² und jedes Volumen mit k³. Eine Fläche misst zwei Längen, ein Volumen drei. Beispiel: Die Kugel mit r = 6 cm wächst auf r = 12 cm (k = 2):

$O^{'} = k^{2} \cdot O : 144 π \to 576 π (\times 4) V^{'} = k^{3} \cdot V : 288 π \to 2304 π (\times 8)$

Doppelte Länge bedeutet also vierfache Fläche und achtfaches Volumen. Der Faktor 2 gilt nur für die Länge.

Verändere k. Welche Kurve wächst am schnellsten, und wie groß sind k, k² und k³ bei k = 2?

Rückwärts

Aus dem Verhältnis zweier ähnlicher Körper findest du k. Ist die Oberfläche 9-mal so groß, gilt k² = 9 und k = 3. Ist das Volumen 27-mal so groß, gilt k³ = 27 und k = $327 = 3$ . Ein Würfel aus 27 Einheitswürfeln hat also die dreifache Kante. Wer beim Volumen 27 mit 27 gleichsetzt, hält die Länge für 27-mal so groß.

Kante 1, 2, 3: Das Volumen wächst auf 1, 8 und 27 Einheitswürfel.

Füllhöhe im Kegelglas

Ein Kegelglas (Spitze unten) ist bis zur halben Höhe gefüllt. Die Flüssigkeit bildet selbst einen Kegel, ähnlich zum Glas mit k = ½ (Strahlensatz). Ihr Volumen ist k³ = ⅛ des Glases, nicht die Hälfte. Beispiel h = 12 cm, r = 4 cm: Das Glas fasst $V = \frac{1}{3} π \cdot 16 \cdot 12 = 64 π \approx 201, 1 cm^{3}$ ; bei h′ = 6 cm sind es nur $8 π \approx 25, 1 cm^{3}$ . Für genau die Hälfte des Volumens muss die Flüssigkeit auf 79 % der Höhe stehen.

Verändere h′. Bei welcher Füllhöhe ist das Glas halb voll?

Voraussetzungen (1)

Winkel und Strahlensatz

Klasse 10

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Der Radius einer Kugel wird von 6 cm auf 12 cm verdoppelt. Mit welchem Faktor wird ihre Oberfläche multipliziert?

● 4
○ 2
○ 8

Alle Längen ×2 bedeutet Flächen ×2² = 4: O = 4π · 12² = 576π statt 144π. Der Faktor 2 ist die Länge, der Faktor 8 gehört zum Volumen.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Verdreifacht man alle Kanten eines Würfels mit der Kante 2 cm, wird sein Volumen 9-mal so groß.

✓ Falsch

Das Volumen wächst mit k³ = 3³ = 27: 2³ = 8 cm³ werden zu 6³ = 216 cm³, das ist der 27-fache Wert. Mit 9 = 3² wächst die Oberfläche.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Halbiert man beim Zylinder (r = 4 cm, h = 10 cm) alle Längen, hat der neue Zylinder ein Viertel der Mantelfläche.

✓ Wahr

Alle Längen ×½ ergibt Flächen ×(½)² = ¼. Die Mantelfläche 2π · 4 · 10 = 80π sinkt auf 2π · 2 · 5 = 20π.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Das Volumen einer Kugel soll 27-mal so groß werden. Um welchen Faktor muss dafür der Radius wachsen?

● 3
○ 9
○ 27

Das Volumen wächst mit k³, also ist k = ∛27 = 3. Der Faktor 9 wäre k², der Faktor 27 würde den Radius mit dem Volumenfaktor gleichsetzen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ist die Oberfläche eines Würfels 16-mal so groß wie die eines kleineren Würfels, so ist seine Kante 4-mal so lang.

✓ Wahr

Die Oberfläche wächst mit k², also ist k = √16 = 4.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Ein Kegelglas (Spitze unten) ist bis zur halben Höhe gefüllt. Welcher Bruchteil des Glasvolumens ist gefüllt?

● 1/8
○ 1/2
○ 1/4

Die Flüssigkeit ist ein Kegel, ähnlich zum Glas mit k = ½. Das Volumen wächst mit k³ = ⅛. Halbe Höhe wäre nur bei einem Zylinder das halbe Volumen, und ¼ wäre k².

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Ein Kegelglas (Spitze unten) ist zu einem Drittel seiner Höhe gefüllt. Dann enthält es ein Drittel der Flüssigkeit, die hineinpasst.

✓ Falsch

Bei k = ⅓ ist das Volumen (⅓)³ = ¹⁄₂₇ des Glases. Ein Drittel der Höhe ergibt nur 3,7 % der Füllung.

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Alle Kanten eines Quaders werden verdoppelt. Mit welchem Faktor wird sein Volumen multipliziert?

✓ Antwort: 8

Das Volumen misst drei Längen: k³ = 2³ = 8.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Die Oberfläche einer Kugel wird 25-mal so groß. Um welchen Faktor ist ihr Radius gewachsen?

✓ Antwort: 5

k² = 25 ergibt k = √25 = 5.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein Kegelglas fasst 240 ml. Wie viel ml sind darin, wenn es (mit der Spitze unten) bis zur halben Höhe gefüllt ist?

✓ Antwort: 30

Halbe Höhe heißt k = ½, das Volumen k³ = ⅛: 240 ml : 8 = 30 ml.

Schwer

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Eine Kugel mit r = 5 cm hat die Oberfläche 100π ≈ 314,2 cm². Ihr Radius wird auf 15 cm vergrößert. Wie groß ist die neue Oberfläche (in cm², auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 2827.4

Der Radius wird 3-mal so groß, also wird die Oberfläche 3² = 9-mal so groß: 9 · 100π = 900π ≈ 2827,4 cm². Zur Probe: 4π · 15² = 900π.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Zwei ähnliche Kegel haben die Volumina 12 cm³ und 324 cm³. Wie viel mal so lang ist jede Strecke im größeren Kegel?

✓ Antwort: 3

Das Volumenverhältnis ist 324 : 12 = 27. Mit k³ = 27 folgt k = ∛27 = 3.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein kugelförmiger Tank soll das 8-fache Volumen fassen. Bestimme, um welchen Faktor sein Radius wachsen muss, und um welchen Faktor dabei die Blechfläche (Oberfläche) wächst. Überprüfe dein Ergebnis an einem Tank mit r = 1 m und dem größeren Tank. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Ähnliche Körper: V′ = k³ · V mit k³ = 8, also k = ∛8 = 2. Die Oberfläche wächst mit k² = 4. Probe: r = 1 m: V = ⁴⁄₃π ≈ 4,19 m³, O = 4π ≈ 12,6 m²; r = 2 m: V = ³²⁄₃π ≈ 33,5 m³ (8-mal so viel), O = 16π ≈ 50,3 m² (4-mal so viel).

k = 2, Blechfläche ×4; Probe: r = 1 m: V ≈ 4,19 m³, O ≈ 12,6 m²; r = 2 m: V ≈ 33,5 m³, O ≈ 50,3 m².

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Ein Kegelglas (Spitze unten) ist 12 cm hoch und fasst 200 ml. Bis zu welcher Höhe muss man einschenken, damit genau 25 ml darin sind (in cm)?

✓ Antwort: 6

25 ml sind ein Achtel von 200 ml. k³ = ⅛ ergibt k = ½, also die halbe Höhe: 6 cm.