Rotationskörper
Diese Figur rotiert um die gestrichelte Achse. Welcher Körper entsteht?
Erklärung: Ein Rechteck, das um eine seiner Seiten rotiert, überstreicht einen Zylinder. Ein Kegel entsteht aus einem Dreieck, eine Kugel aus einem Halbkreis.
Welche Figur erzeugt beim Drehen um die angegebene Achse einen Kegel?
Erklärung: Ein Kegel entsteht aus einem rechtwinkligen Dreieck, das um eine Kathete rotiert. Das Rechteck ergibt einen Zylinder, der Halbkreis eine Kugel.
Ein Halbkreis mit dem Radius 5 cm rotiert um seinen Durchmesser. Dabei entsteht eine Kugel mit dem Radius 5 cm.
Erklärung: Jeder Punkt des Halbkreisbogens ist 5 cm vom Mittelpunkt entfernt, und diese Entfernung bleibt bei der Drehung erhalten. Der Körper ist also eine Kugel mit r = 5 cm.
Tippe auf die Figur, die beim Drehen um ihre gestrichelte Achse einen Kegel erzeugt.
Erklärung: Das rechtwinklige Dreieck mit einer Kathete auf der Achse ergibt einen Kegel. Das Rechteck erzeugt einen Zylinder, der Halbkreis eine Kugel.
Ein Rechteck rotiert um eine seiner Seiten. Es entsteht ein ___.
Erklärung: Die Rechteckseite auf der Achse wird zur Höhe, die Seite senkrecht dazu zum Radius: Es entsteht ein Zylinder.
Das Rechteck rotiert um die 5-cm-Seite. Berechne das Volumen des entstehenden Zylinders (in cm³, auf 0,1 genau).
Erklärung: Die Achsenseite ist die Höhe h = 5 cm, die andere Seite der Radius r = 2 cm. V = π · r² · h = π · 4 · 5 = 20π ≈ 62,8 cm³.
Das rechtwinklige Dreieck rotiert um die 8-cm-Kathete. Welche Maße hat der entstehende Kegel?
Erklärung: Die Kathete auf der Achse ist die Höhe (h = 8 cm), die andere Kathete der Radius (r = 6 cm). Die Hypotenuse wird zur Mantellinie: s = 10 cm, nicht die Summe 6 + 8.
Dasselbe Dreieck rotiert jetzt um die 6-cm-Kathete. Welche Höhe hat der Kegel?
Erklärung: Die Höhe ist die Kathete auf der Achse, jetzt also 6 cm; der Radius wird 8 cm. Die 8 cm sind der Radius, nicht die Höhe, und 10 cm ist die Mantellinie.
Das Rechteck rotiert um die 3-cm-Seite. Der entstehende Zylinder hat den Radius 7 cm.
Erklärung: Die Seite auf der Achse (3 cm) wird zur Höhe. Die Seite senkrecht zur Achse (7 cm) wird zum Radius: r = 7 cm, h = 3 cm.
Tippe auf die Strecke, die beim Drehen um die Achse den Radius des Grundkreises liefert.
Erklärung: Der Radius steht senkrecht auf der Achse und wandert beim Drehen einen Kreis entlang: das ist die untere Kathete. Die Kathete auf der Achse ist die Höhe, die Hypotenuse die Mantellinie.
Ein Rechteck mit den Seiten 4 cm und 9 cm rotiert um die 9-cm-Seite. Wie groß ist der Radius des Zylinders (in cm)?
Erklärung: Die Seite auf der Achse (9 cm) ist die Höhe. Der Radius ist die Seite senkrecht zur Achse: 4 cm.
Das rechtwinklige Dreieck rotiert um die 12-cm-Kathete. Wie lang ist die Mantellinie des Kegels (in cm)?
Erklärung: Die Hypotenuse des Dreiecks wird zur Mantellinie: s² = 5² + 12² = 169, also s = 13 cm.
Ein Rechteck mit den Seiten 4 cm und 7 cm rotiert einmal um die 7-cm-Seite und einmal um die 4-cm-Seite. Skizziere jeweils den Achsenschnitt, gib Radius und Höhe des Zylinders an und berechne beide Volumina. Welcher Zylinder fasst mehr?
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: r = 4, h = 7: V = 112π ≈ 351,9 cm³; r = 7, h = 4: V = 196π ≈ 615,8 cm³; der zweite Zylinder fasst mehr.
Ein Kegel mit r = 4 cm und h = 6 cm wird entlang seiner Achse durchgeschnitten. Welche Form hat die Schnittfläche?
Erklärung: Der Achsenschnitt ist die erzeugende Figur samt Spiegelbild: zwei rechtwinklige Dreiecke ergeben ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 2r = 8 cm und der Höhe 6 cm. Ein Kreis entsteht nur bei einem Schnitt senkrecht zur Achse.
Ein Schnitt senkrecht zur Achse durch einen Zylinder mit r = 3 cm und h = 7 cm ergibt ein Rechteck.
Erklärung: Senkrecht zur Achse schneidet man einen Kreis mit dem Radius r = 3 cm aus. Ein Rechteck (2r × h = 6 cm × 7 cm) ist der Achsenschnitt, also der Schnitt durch die Achse.
Eine Kugel mit dem Radius 5 cm wird durch ihre Rotationsachse geschnitten. Welchen Radius hat die Schnittfläche?
Erklärung: Der Achsenschnitt der Kugel ist ein Kreis mit demselben Radius wie die Kugel: r = 5 cm. 10 cm ist der Durchmesser.
Der Achsenschnitt eines Zylinders mit r = 3 cm und h = 7 cm ist ein Rechteck. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?
Erklärung: Das Rechteck ist 2r = 6 cm breit und h = 7 cm hoch: 6 · 7 = 42 cm².
Berechne den Flächeninhalt des Achsenschnitts eines Kegels mit r = 4 cm und h = 6 cm (in cm²).
Erklärung: Der Achsenschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 2r = 8 cm und der Höhe h = 6 cm: A = ½ · 8 · 6 = 24 cm².