Winkel und Strahlensatz
Ein Kegel hat r = 3 cm, h = 4 cm und s = 5 cm. Welche Gleichung gilt für den Neigungswinkel α zwischen Mantellinie und Grundfläche?
Erklärung: Im rechtwinkligen Dreieck aus r, h und s liegt h dem Winkel α gegenüber, r liegt an: tan α = h/r = 4/3, also α ≈ 53,1°. tan α = 3/4 vertauscht die Seiten, und 3/5 = r/s ist cos α, nicht sin α.
Im Kegel mit r = 3 cm, h = 4 cm und s = 5 cm gilt für den Neigungswinkel α: sin α = 0,6.
Erklärung: Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse: sin α = h/s = 4/5 = 0,8. Der Wert 0,6 = r/s ist der Kosinus, denn r liegt an α an.
Ein Kegel hat den Radius 5 cm und die Höhe 12 cm. Berechne den Neigungswinkel α zwischen Mantellinie und Grundfläche (in Grad, auf 0,1 genau).
Erklärung: tan α = h/r = 12/5 = 2,4, also α = tan⁻¹(2,4) ≈ 67,4°.
Ein kegelförmiges Zelt hat einen Grundkreisradius von 3,0 m und in der Mitte eine Höhe von 2,4 m. Unter welchem Winkel steigt die Zeltwand gegen den Boden an (in Grad, auf 0,1 genau)?
Erklärung: tan α = h/r = 2,4/3,0 = 0,8, also α = tan⁻¹(0,8) ≈ 38,7°.
Ein Kegel hat r = 3 cm und h = 4 cm. Wie groß ist sein Öffnungswinkel γ an der Spitze des Achsenschnitts?
Erklärung: Die Höhe halbiert den Öffnungswinkel: tan(γ/2) = r/h = 3/4, also γ/2 ≈ 36,9° und γ ≈ 73,7°. 36,9° ist nur der halbe Winkel, 53,1° der Neigungswinkel an der Grundfläche.
Ein Kegel, dessen Wand mit der Grundfläche den Winkel α = 60° bildet, hat den Öffnungswinkel γ = 60°.
Erklärung: γ = 180° − 2 · α = 180° − 120° = 60°: Der Achsenschnitt ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Winkelsumme im Achsenschnitt ist 180°, und α kommt zweimal vor.
Ein Kegel hat r = 2 cm und die Mantellinie s = 4 cm. Berechne seinen Öffnungswinkel γ (in Grad).
Erklärung: sin(γ/2) = r/s = 2/4 = 0,5, also γ/2 = 30° und γ = 60°.
Ein Kegel hat den Öffnungswinkel 60° und den Radius 5 cm. Wie hoch ist er (in cm, auf 0,1 genau)?
Erklärung: Die Höhe halbiert den Öffnungswinkel: tan 30° = r/h, also h = 5 : tan 30° ≈ 8,66 ≈ 8,7 cm.
Ein kegelförmiges Glas (Spitze unten) hat oben den Radius 4 cm und ist 12 cm hoch. Skizziere den Achsenschnitt, berechne den Neigungswinkel der Glaswand gegen die Waagrechte und den Öffnungswinkel an der Spitze. Berechne außerdem den Radius der Flüssigkeitsoberfläche bei einer Füllhöhe von 9 cm.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: α ≈ 71,6°; γ ≈ 36,9°; r′ = 3 cm.
Ein Kegel (r = 6 cm, h = 8 cm) wird 2 cm von der Spitze entfernt parallel zur Grundfläche geschnitten. Welchen Radius hat der Schnittkreis?
Erklärung: Strahlensatz mit der Spitze als Zentrum: r′ : r = h′ : h, also r′ = 6 · 2 : 8 = 1,5 cm. 4,5 cm gehört zum Abstand 6 cm von der Spitze (2 cm von der Grundfläche), 2 cm setzt r′ = h′.
Ein Kegel (r = 10 cm, h = 12 cm) wird 6 cm von der Spitze entfernt parallel zur Grundfläche geschnitten. Der Schnittkreis hat den Radius 5 cm.
Erklärung: r′ : r = h′ : h gibt r′ = 10 · 6 : 12 = 5 cm. Der Abstand 6 cm ist die halbe Höhe, also ist auch der Radius halb so groß. Der Radius wächst gleichmäßig mit dem Abstand von der Spitze.
Ein Kegel hat r = 9 cm und h = 12 cm. Ein paralleler Schnitt liegt 4 cm von der Spitze entfernt. Welchen Radius hat der Schnittkreis (in cm)?
Erklärung: r′ = r · h′ : h = 9 · 4 : 12 = 3 cm.
Ein Kegelglas (Spitze unten) ist 15 cm hoch und hat oben den Radius 6 cm. Die Flüssigkeit steht 10 cm hoch. Welchen Radius hat die Flüssigkeitsoberfläche (in cm)?
Erklärung: Die Füllhöhe 10 cm ist der Abstand von der Spitze. Strahlensatz: r′ = 6 · 10 : 15 = 4 cm.