Winkel und Strahlensatz

Angles and the Intercept Theorem

Mathematik Klasse 10 13 Aufgaben
GeometrieRaumgeometrieTrigonometrieStrahlensätzeKegel

Im Achsenschnitt des Kegels stecken zwei Winkel: der Neigungswinkel α zwischen Mantellinie und Grundfläche (tan α = h/r, cos α = r/s) und der Öffnungswinkel γ an der Spitze (γ = 180° − 2α, tan(γ/2) = r/h). Ein Schnitt parallel zur Grundfläche liefert mit der Spitze als Zentrum den Strahlensatz r′ : r = h′ : h. Räumt die Verwechslung von Gegen- und Ankathete und von halbem und ganzem Öffnungswinkel sowie das Messen des Abstands von der Grundfläche statt von der Spitze aus. Bereitet Maßstabsfaktoren und Füllhöhen vor.

Zwei Winkel am Kegel

Im Achsenschnitt eines Kegels stecken zwei Winkel. Der Neigungswinkel α liegt zwischen Mantellinie und Grundfläche, im rechtwinkligen Dreieck aus r, h und s: h liegt α gegenüber, r liegt an, s ist die Hypotenuse. Der Öffnungswinkel γ liegt an der Spitze zwischen den beiden Mantellinien. Die Höhe halbiert ihn.

Beispiel r = 3 cm, h = 4 cm, s = 5 cm: , also α ≈ 53,1°. Der halbe Öffnungswinkel ist 36,9°, also γ ≈ 73,7°. Rechne nicht mit dem halben Winkel weiter und achte darauf, welche Seite dem Winkel gegenüberliegt.

Verändere α. Wie ändern sich γ und h, wenn die Wand steiler wird?

Paralleler Schnitt

Schneidest du einen Kegel parallel zur Grundfläche, entsteht ein Kreis. Die Spitze ist das Zentrum, und die Strahlensätze liefern den Schnittkreis: Im Abstand h′ von der Spitze hat er den Radius r′ mit

Beispiel r = 6 cm, h = 8 cm, h′ = 2 cm: . Wichtig: h′ ist der Abstand von der Spitze, nicht von der Grundfläche. Der Radius wächst gleichmäßig mit dem Abstand; wie sich das Volumen dabei verhält, klären wir im nächsten Abschnitt.

Verändere h′. Was fällt bei den Verhältnissen h′ : h und r′ : r auf?

Voraussetzungen (1)

Rotationskörper
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Doppelte Länge, achtfaches Volumen
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 3 cm, h = 4 cm und s = 5 cm. Welche Gleichung gilt für den Neigungswinkel α zwischen Mantellinie und Grundfläche?

  • ● tan α = 4/3
  • ○ tan α = 3/4
  • ○ sin α = 3/5
Im rechtwinkligen Dreieck aus r, h und s liegt h dem Winkel α gegenüber, r liegt an: tan α = h/r = 4/3, also α ≈ 53,1°. tan α = 3/4 vertauscht die Seiten, und 3/5 = r/s ist cos α, nicht sin α.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Im Kegel mit r = 3 cm, h = 4 cm und s = 5 cm gilt für den Neigungswinkel α: sin α = 0,6.

✓ Falsch
Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse: sin α = h/s = 4/5 = 0,8. Der Wert 0,6 = r/s ist der Kosinus, denn r liegt an α an.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 3 cm und h = 4 cm. Wie groß ist sein Öffnungswinkel γ an der Spitze des Achsenschnitts?

  • ● 73,7°
  • ○ 36,9°
  • ○ 53,1°
Die Höhe halbiert den Öffnungswinkel: tan(γ/2) = r/h = 3/4, also γ/2 ≈ 36,9° und γ ≈ 73,7°. 36,9° ist nur der halbe Winkel, 53,1° der Neigungswinkel an der Grundfläche.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Ein Kegel, dessen Wand mit der Grundfläche den Winkel α = 60° bildet, hat den Öffnungswinkel γ = 60°.

✓ Wahr
γ = 180° − 2 · α = 180° − 120° = 60°: Der Achsenschnitt ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Winkelsumme im Achsenschnitt ist 180°, und α kommt zweimal vor.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Kegel (r = 6 cm, h = 8 cm) wird 2 cm von der Spitze entfernt parallel zur Grundfläche geschnitten. Welchen Radius hat der Schnittkreis?

  • ● 1,5 cm
  • ○ 4,5 cm
  • ○ 2 cm
Strahlensatz mit der Spitze als Zentrum: r′ : r = h′ : h, also r′ = 6 · 2 : 8 = 1,5 cm. 4,5 cm gehört zum Abstand 6 cm von der Spitze (2 cm von der Grundfläche), 2 cm setzt r′ = h′.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Kegel (r = 10 cm, h = 12 cm) wird 6 cm von der Spitze entfernt parallel zur Grundfläche geschnitten. Der Schnittkreis hat den Radius 5 cm.

✓ Wahr
r′ : r = h′ : h gibt r′ = 10 · 6 : 12 = 5 cm. Der Abstand 6 cm ist die halbe Höhe, also ist auch der Radius halb so groß. Der Radius wächst gleichmäßig mit dem Abstand von der Spitze.
Mittel
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Kegel hat den Radius 5 cm und die Höhe 12 cm. Berechne den Neigungswinkel α zwischen Mantellinie und Grundfläche (in Grad, auf 0,1 genau).

✓ Antwort: 67.4
tan α = h/r = 12/5 = 2,4, also α = tan⁻¹(2,4) ≈ 67,4°.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 2 cm und die Mantellinie s = 4 cm. Berechne seinen Öffnungswinkel γ (in Grad).

✓ Antwort: 60
sin(γ/2) = r/s = 2/4 = 0,5, also γ/2 = 30° und γ = 60°.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Kegel hat r = 9 cm und h = 12 cm. Ein paralleler Schnitt liegt 4 cm von der Spitze entfernt. Welchen Radius hat der Schnittkreis (in cm)?

✓ Antwort: 3
r′ = r · h′ : h = 9 · 4 : 12 = 3 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Ein kegelförmiges Zelt hat einen Grundkreisradius von 3,0 m und in der Mitte eine Höhe von 2,4 m. Unter welchem Winkel steigt die Zeltwand gegen den Boden an (in Grad, auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 38.7
tan α = h/r = 2,4/3,0 = 0,8, also α = tan⁻¹(0,8) ≈ 38,7°.
Zahleneingabe #2 50s ▶ Testen

Ein Kegel hat den Öffnungswinkel 60° und den Radius 5 cm. Wie hoch ist er (in cm, auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 8.7
Die Höhe halbiert den Öffnungswinkel: tan 30° = r/h, also h = 5 : tan 30° ≈ 8,66 ≈ 8,7 cm.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ein kegelförmiges Glas (Spitze unten) hat oben den Radius 4 cm und ist 12 cm hoch. Skizziere den Achsenschnitt, berechne den Neigungswinkel der Glaswand gegen die Waagrechte und den Öffnungswinkel an der Spitze. Berechne außerdem den Radius der Flüssigkeitsoberfläche bei einer Füllhöhe von 9 cm. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: gleichschenkliges Dreieck, Spitze unten, r = 4 cm, h = 12 cm. Neigungswinkel: tan α = 12/4 = 3, α ≈ 71,6°. Öffnungswinkel: tan(γ/2) = 4/12, γ/2 ≈ 18,4°, γ ≈ 36,9° (= 180° − 2 · 71,6°). Strahlensatz mit der Spitze als Zentrum: r′ : 4 = 9 : 12, also r′ = 3 cm.
α ≈ 71,6°; γ ≈ 36,9°; r′ = 3 cm.
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Ein Kegelglas (Spitze unten) ist 15 cm hoch und hat oben den Radius 6 cm. Die Flüssigkeit steht 10 cm hoch. Welchen Radius hat die Flüssigkeitsoberfläche (in cm)?

✓ Antwort: 4
Die Füllhöhe 10 cm ist der Abstand von der Spitze. Strahlensatz: r′ = 6 · 10 : 15 = 4 cm.