Für f(x) = x³ − 12x gilt f′(x) = 3x² − 12. Welche Gleichung liefert die Kandidaten für Extremstellen?

Erklärung: Ein Extrempunkt braucht eine waagerechte Tangente, also f′(x) = 0. Die Gleichung x³ − 12x = 0 liefert die Nullstellen von f (Schnittpunkte mit der x-Achse), die Ungleichung 3x² − 12 > 0 beschreibt, wo f steigt, nicht wo die Tangente waagerecht ist.

Abgebildet ist der Graph von f. An welchen Stellen ist f′(x) = 0?

Erklärung: Die Tangente ist waagerecht an den Stellen des Hügels und der Mulde: x = −2 und x = 2 (auch rechnerisch: 3x² − 12 = 0). Die Stellen ±3,46 sind die Nullstellen von f (Schnittpunkte mit der x-Achse), x = 0 der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Für f(x) = x³ − 3x² ist f′(x) = 3x² − 6x. Löse f′(x) = 0 und gib die größere Lösung an.

Erklärung: 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 oder x = 2. Die größere Lösung ist 2.

Wie viele Kandidaten für Extremstellen hat f(x) = x³ − 27x? Löse dazu f′(x) = 0.

Erklärung: f′(x) = 3x² − 27 = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = −3 oder x = 3: zwei Kandidaten. (Die Gleichung f(x) = 0 hätte drei Lösungen: 0 und ±√27, aber die sucht man hier nicht.)

Alle drei Funktionen haben bei x = 0 die Ableitung 0. Bei welcher liegt dort ein Extrempunkt?

Erklärung: Es gilt f′(0) = 0 für x⁴ (f′ = 4x³), x³ (f′ = 3x²) und x⁵ (f′ = 5x⁴). Nur x⁴ ist überall ≥ 0 = f(0): ein Tiefpunkt. x³ und x⁵ laufen durch den Ursprung hindurch, ein Sattelpunkt.

Der abgebildete Graph gehört zu f(x) = x³. Er hat bei x = 0 eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt.

Erklärung: f′(0) = 0 ist nur notwendig. Der Graph von x³ steigt vor und nach x = 0: Die Tangente ist waagerecht, aber es gibt weder Hoch- noch Tiefpunkt (Sattelpunkt).

Für f(x) = x³ + 3x² + 3x ist f′(x) = 3(x + 1)². An welcher Stelle ist die Tangente waagerecht?

Erklärung: 3(x + 1)² = 0 gilt für x = −1. Dort wechselt f′ das Vorzeichen nicht (f′ ≥ 0 überall): kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt.

Für f(x) = x⁴ − 4x³ gilt f′(x) = 4x²(x − 3). An wie vielen der Stellen mit waagerechter Tangente liegt kein Extrempunkt?

Erklärung: Waagerechte Tangenten gibt es bei x = 0 und x = 3. Bei x = 3 wechselt f′ von − nach + (Tiefpunkt). Bei x = 0 ist der Faktor x² doppelt, f′ bleibt links und rechts negativ: kein Extrempunkt, ein Sattelpunkt. Also eine Stelle.

Abgebildet ist der Graph von f′. Was liegt bei x = 3 vor?

Erklärung: f′ ist links von 3 positiv (f steigt), bei 3 null und rechts von 3 negativ (f fällt). Der Vorzeichenwechsel von + nach − macht x = 3 zur Hochpunktstelle. Bei − nach + wäre es ein Tiefpunkt, ohne Wechsel ein Sattelpunkt.

Abgebildet ist der Graph von f′. Welche Art von Extremstelle hat f bei x = −1?

Erklärung: Links von −1 liegt f′ oberhalb der x-Achse (f steigt), zwischen −1 und 2 darunter (f fällt): f′ wechselt bei −1 von + nach −, also Hochpunkt. (Bei x = 2 wechselt f′ von − nach +: Tiefpunkt.)

Abgebildet ist der Graph von f′ mit f′(x) = x(x − 5)². Bei x = 0 hat f einen Extrempunkt.

Erklärung: Bei x = 0 wechselt f′ von − nach +: ein Tiefpunkt. (Bei x = 5 berührt f′ die x-Achse nur und bleibt positiv: dort kein Extrempunkt, ein Sattelpunkt.)

Wechselt f′ an der Stelle x₀ von − nach +, so hat f dort einen ___ (Hochpunkt oder Tiefpunkt).

Erklärung: Erst fällt f (f′ < 0), dann steigt f (f′ > 0): die Kurve ist an der Stelle x₀ am tiefsten, ein Tiefpunkt.

Für f(x) = x⁴ − 8x² gilt f′(x) = 4x(x − 2)(x + 2). An wie vielen Stellen hat f einen Extrempunkt?

Erklärung: f′ hat drei einfache Nullstellen −2, 0, 2. An jeder einfachen Nullstelle wechselt das Vorzeichen: Tiefpunkt bei −2, Hochpunkt bei 0, Tiefpunkt bei 2. Also drei Extrempunkte.

Die Funktion f(x) = x² − 4x + 1 hat bei x = 2 liegt die einzige Extremstelle. Wie lautet der Extrempunkt?

Erklärung: Die x-Koordinate ist die Extremstelle 2, die y-Koordinate liefert f: f(2) = 4 − 8 + 1 = −3. Der Wert 0 ist f′(2), die Steigung; (−3 | 2) vertauscht die Koordinaten.

Abgebildet ist der Graph von f. Welche Koordinaten hat der Hochpunkt?

Erklärung: Der Hochpunkt liegt bei x = 1 auf der Höhe f(1) = 5. (5 | 1) vertauscht die Koordinaten, (1 | 0) nimmt die Steigung f′(1) = 0 als y-Wert.

Die Funktion f(x) = 2x³ − 6x² + 1 hat bei x = 2 einen Tiefpunkt. Berechne seinen y-Wert.

Erklärung: Der y-Wert kommt aus f: f(2) = 2 · 8 − 6 · 4 + 1 = 16 − 24 + 1 = −7.

Bestimme den Tiefpunkt von f(x) = x² − 6x + 5 und gib seine y-Koordinate an.

Erklärung: f′(x) = 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3 (f′ wechselt von − nach +: Tiefpunkt). Der y-Wert kommt aus f: f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. Der Tiefpunkt ist (3 | −4).

Bestimme alle Extrempunkte von f(x) = x³ − 12x. Bilde f′, löse f′(x) = 0, prüfe das Vorzeichen von f′ links und rechts jeder Kandidatenstelle und berechne die y-Werte. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Kandidaten ±2 aus f′ = 0, Vorzeichenwechsel + → − bei −2 (Hochpunkt) und − → + bei 2 (Tiefpunkt), y-Werte aus f: H(−2 | 16), T(2 | −16).

f(x) = x² − 4x. Berechne f'(3).

Das ist f(3). Gefragt ist f'(3).

f'(x) = 2x − 4, also f'(3) = 2.

f(x) = x³ − 3x. Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.

Gefragt ist die positive Lösung.

f'(x) = 3x² − 3. f'(x) = 0 bei x = −1 und x = 1.

f(x) = x³ − 12x. Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.

Gefragt ist die positive Lösung.

f'(x) = 3x² − 12. f'(x) = 0 bei x = −2 und x = 2.

f(x) = x³ − 6x² + 9x. Löse f'(x) = 0. Trag die größere Lösung ein.

Gefragt ist die größere Lösung.

f'(x) = 3x² − 12x + 9. f'(x) = 0 bei x = 1 und x = 3.

f(x) = x³ − 9x² + 24x. Löse f'(x) = 0. Trag die größere Lösung ein.

Gefragt ist die größere Lösung.

f'(x) = 3x² − 18x + 24. f'(x) = 0 bei x = 2 und x = 4.

f(x) = x³ − 3x hat bei x = 1 einen Tiefpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?

Das ist f'(1). Die y-Koordinate ist f(1).

Die y-Koordinate ist f(1) = −2. Der Tiefpunkt ist (1 | −2).

f(x) = x³ − 27x hat bei x = 3 einen Tiefpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?

Das ist f'(3). Die y-Koordinate ist f(3).

Die y-Koordinate ist f(3) = −54. Der Tiefpunkt ist (3 | −54).

f(x) = −x² + 4x + 1 hat bei x = 2 einen Hochpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?

Das ist f'(2). Die y-Koordinate ist f(2).

Die y-Koordinate ist f(2) = 5. Der Hochpunkt ist (2 | 5).

f(x) = −x² + 6x − 2 hat bei x = 3 einen Hochpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?

Das ist f'(3). Die y-Koordinate ist f(3).

Die y-Koordinate ist f(3) = 7. Der Hochpunkt ist (3 | 7).

f(x) = x³. Es gilt f'(0) = 0. Hat f bei x = 0 eine Extremstelle?

Nein: f'(x) = 3x² ist links und rechts von 0 positiv. Ohne Vorzeichenwechsel ist x = 0 ein Sattelpunkt.

f(x) = x³ + 1. Es gilt f'(0) = 0. Hat f bei x = 0 eine Extremstelle?

Nein: f'(x) = 3x² wechselt bei 0 das Vorzeichen nicht. x = 0 ist eine Sattelstelle.

f'(x) = 3(x − 1)(x − 3) wechselt bei x = 3 von − nach +. Liegt dort ein Tiefpunkt?

Ja: f fällt vor x = 3 und steigt danach. Das ist ein Tiefpunkt.

f'(x) = 3(x + 2)(x − 2) wechselt bei x = −2 von + nach −. Liegt dort ein Hochpunkt?

Ja: f steigt vor x = −2 und fällt danach. Das ist ein Hochpunkt.

f(x) = x⁴ − 8x². Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.

Gefragt ist die positive Lösung.

f'(x) = 4x³ − 16x. f'(x) = 0 bei x = −2 und x = 0 und x = 2.

f(x) = x⁴ − 18x². Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.

Gefragt ist die positive Lösung.

f'(x) = 4x³ − 36x. f'(x) = 0 bei x = −3 und x = 0 und x = 3.

f(x) = x³ − 12x. Bestimme den Tiefpunkt. Trag seine y-Koordinate ein.

Das ist der Hochpunkt: dort ist f'' negativ.

f'(x) = 3x² − 12 = 0 bei x = −2 und x = 2. f''(x) = 6x, f''(2) = 12 > 0: Tiefpunkt. f(2) = −16, also T(2 | −16).

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1. Bestimme den Tiefpunkt. Trag seine y-Koordinate ein.

Das ist der Hochpunkt: dort ist f'' negativ.

f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 0 bei x = −1 und x = 3. f''(x) = 6x − 6, f''(3) = 12 > 0: Tiefpunkt. f(3) = −26, also T(3 | −26).

Aufgabe 1 von 35