Extremstellen bestimmen
Finding extrema
Ein Extrempunkt braucht eine waagerechte Tangente: f′(x₀) = 0 ist notwendig, die Kandidaten kommen aus f′(x) = 0. Hinreichend ist der Vorzeichenwechsel von f′: von + nach − ein Hochpunkt, von − nach + ein Tiefpunkt; den y-Wert liefert f. Der Abschnitt räumt aus, dass f′(x₀) = 0 schon genügt (Sattelpunkt bei x³), dass man f(x) = 0 löst und dass y-Wert und Steigung dasselbe sind. Er bereitet den f″-Test, die Wendestellen und die vollständige Untersuchung vor.
Notwendig: f′(x₀) = 0
In einem Hoch- oder Tiefpunkt liegt die
Ob dort wirklich ein Extrempunkt liegt, sagt die Bedingung nicht. Bei
Hinreichend: Vorzeichenwechsel
Hinreichend ist ein Vorzeichenwechsel von f′ an einer Stelle x₀ mit
Bei
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Für f(x) = x³ − 12x gilt f′(x) = 3x² − 12. Welche Gleichung liefert die Kandidaten für Extremstellen?
Abgebildet ist der Graph von f. An welchen Stellen ist f′(x) = 0?
Alle drei Funktionen haben bei x = 0 die Ableitung 0. Bei welcher liegt dort ein Extrempunkt?
Der abgebildete Graph gehört zu f(x) = x³. Er hat bei x = 0 eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt.
Abgebildet ist der Graph von f′. Was liegt bei x = 3 vor?
Abgebildet ist der Graph von f′. Welche Art von Extremstelle hat f bei x = −1?
Abgebildet ist der Graph von f′ mit f′(x) = x(x − 5)². Bei x = 0 hat f einen Extrempunkt.
Die Funktion f(x) = x² − 4x + 1 hat bei x = 2 liegt die einzige Extremstelle. Wie lautet der Extrempunkt?
Abgebildet ist der Graph von f. Welche Koordinaten hat der Hochpunkt?
f(x) = x³. Es gilt f'(0) = 0. Hat f bei x = 0 eine Extremstelle?
f(x) = x³ + 1. Es gilt f'(0) = 0. Hat f bei x = 0 eine Extremstelle?
f'(x) = 3(x − 1)(x − 3) wechselt bei x = 3 von − nach +. Liegt dort ein Tiefpunkt?
f'(x) = 3(x + 2)(x − 2) wechselt bei x = −2 von + nach −. Liegt dort ein Hochpunkt?
Für f(x) = x³ − 3x² ist f′(x) = 3x² − 6x. Löse f′(x) = 0 und gib die größere Lösung an.
Für f(x) = x³ + 3x² + 3x ist f′(x) = 3(x + 1)². An welcher Stelle ist die Tangente waagerecht?
Wechselt f′ an der Stelle x₀ von − nach +, so hat f dort einen ___ (Hochpunkt oder Tiefpunkt).
Die Funktion f(x) = 2x³ − 6x² + 1 hat bei x = 2 einen Tiefpunkt. Berechne seinen y-Wert.
f(x) = x³ − 3x. Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.
f(x) = x³ − 12x. Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.
f(x) = x³ − 6x² + 9x. Löse f'(x) = 0. Trag die größere Lösung ein.
f(x) = x³ − 9x² + 24x. Löse f'(x) = 0. Trag die größere Lösung ein.
f(x) = x³ − 3x hat bei x = 1 einen Tiefpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?
f(x) = x³ − 27x hat bei x = 3 einen Tiefpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?
f(x) = −x² + 4x + 1 hat bei x = 2 einen Hochpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?
f(x) = −x² + 6x − 2 hat bei x = 3 einen Hochpunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?
f(x) = x⁴ − 8x². Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.
f(x) = x⁴ − 18x². Löse f'(x) = 0. Trag die positive Lösung ein.
f(x) = x³ − 12x. Bestimme den Tiefpunkt. Trag seine y-Koordinate ein.
f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1. Bestimme den Tiefpunkt. Trag seine y-Koordinate ein.
Wie viele Kandidaten für Extremstellen hat f(x) = x³ − 27x? Löse dazu f′(x) = 0.
Für f(x) = x⁴ − 4x³ gilt f′(x) = 4x²(x − 3). An wie vielen der Stellen mit waagerechter Tangente liegt kein Extrempunkt?
Für f(x) = x⁴ − 8x² gilt f′(x) = 4x(x − 2)(x + 2). An wie vielen Stellen hat f einen Extrempunkt?
Bestimme den Tiefpunkt von f(x) = x² − 6x + 5 und gib seine y-Koordinate an.
Bestimme alle Extrempunkte von f(x) = x³ − 12x. Bilde f′, löse f′(x) = 0, prüfe das Vorzeichen von f′ links und rechts jeder Kandidatenstelle und berechne die y-Werte. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.