Die abgebildeten Tangenten haben von links nach rechts die Steigungen 0,5; 1; 2 und 4. Welche Krümmung hat der Graph?

Erklärung: Die Steigung wächst von Tangente zu Tangente: Der Graph biegt sich nach links und liegt über seinen Tangenten (Linkskurve). Dass er dabei überall steigt, sagt nichts über die Krümmung.

Abgebildet ist der Graph von f. Auf welchem Intervall ist f eine Linkskurve?

Erklärung: Eine Linkskurve beginnt dort, wo f′ zu wachsen beginnt: bei x = 1 (dort ist die Steigung am kleinsten, f″(1) = 0). Auf [−1; 3] fällt f, auf [3; ∞[ steigt f; das ist die Monotonie von f, nicht die Krümmung.

Abgebildet ist der Graph von f′. Auf dem Intervall [2; 4] ist f eine Linkskurve.

Erklärung: Auf [2; 4] steigt f′ (von −3 über 0 bis 5): Die Steigung von f wächst, also Linkskurve. Dass f′ zunächst negativ ist (f fällt), ändert daran nichts: Krümmung fragt nur, ob f′ steigt oder fällt.

Nimmt die Steigung von links nach rechts ab, so ist der Graph eine ___ (Linkskurve oder Rechtskurve).

Erklärung: Sinkende Steigungen heißen: Die Tangente dreht sich im Uhrzeigersinn, der Graph biegt nach rechts, er liegt unter seinen Tangenten.

Die Tangentensteigung einer Funktion ist an den Stellen 0, 1, 2, 3 der Reihe nach 4, 1, −1, 0. Auf wie vielen der drei Abschnitte 0 → 1, 1 → 2, 2 → 3 ist der Graph eine Rechtskurve?

Erklärung: Rechtskurve heißt: Die Steigung sinkt. 4 → 1 sinkt, 1 → −1 sinkt, −1 → 0 steigt. Also zwei Abschnitte.

Für f(x) = x³ − 6x² ist f″(x) = 6x − 12. Für welche x ist der Graph eine Rechtskurve?

Erklärung: Rechtskurve heißt f″(x) < 0: 6x − 12 < 0 ⇔ x < 2. Für x > 2 ist f″ positiv (Linkskurve). Das Intervall 0 < x < 4 ist der Bereich, in dem f fällt (f′ = 3x² − 12x < 0), also die Monotonie.

Für f(x) = x⁴ − 2x³ gilt f′(x) = 4x³ − 6x². Wie lautet f″(x)?

Erklärung: f″ ist die Ableitung von f′: (4x³)′ = 12x² und (6x²)′ = 12x, also f″(x) = 12x² − 12x. Bei 12x³ − 12x² wurde der Exponent nicht um 1 gesenkt, bei 4x² − 6x der Faktor des Exponenten vergessen.

Abgebildet ist der Graph von f″ mit f″(x) = 2x − 2. Auf ]1; ∞[ ist f eine Rechtskurve.

Erklärung: Auf ]1; ∞[ liegt der Graph von f″ oberhalb der x-Achse: f″ > 0, also Linkskurve. Dass f″ dort ansteigt, ist unerheblich; entscheidend ist das Vorzeichen von f″.

Für f(x) = x³ + 2x² − x ist f′(x) = 3x² + 4x − 1. Berechne f″(−1).

Erklärung: f″(x) = 6x + 4, also f″(−1) = −6 + 4 = −2.

Für f(x) = −x³ + 3x² ist f″(x) = −6x + 6. Der Graph ist eine Rechtskurve für x > ___.

Erklärung: Rechtskurve heißt f″(x) < 0: −6x + 6 < 0 ⇔ x > 1.

Für f(x) = x³ − 6x² gilt f′(4) = 0 und f″(4) = 12. Was liegt bei x = 4 vor?

Erklärung: f′(4) = 0 (waagerechte Tangente) und f″(4) = 12 > 0 (Linkskurve): Der Graph liegt dort über seiner waagerechten Tangente, also ein Tiefpunkt. Bei f″ < 0 wäre es ein Hochpunkt.

Für f(x) = x⁴ gilt f′(0) = 0 und f″(0) = 0. Deshalb hat f bei x = 0 keinen Extrempunkt.

Erklärung: Bei f″(0) = 0 sagt der f″-Test nichts. Tatsächlich ist x⁴ ≥ 0 = f(0): ein Tiefpunkt (f′ wechselt bei 0 von − nach +).

Bei welcher der drei Funktionen liefert der f″-Test an der Stelle x = 0 keine Entscheidung?

Erklärung: Es gilt f′(0) = 0 in allen drei Fällen. f″ ist 12x² (an 0: 0) bei x⁴, aber 2 bei x² (Tiefpunkt) und −2 bei −x² (Hochpunkt). Nur bei x⁴ ist f″(0) = 0 und der Test schweigt.

Gilt f′(x₀) = 0 und f″(x₀) < 0, so hat f bei x₀ einen ___ (Hochpunkt oder Tiefpunkt).

Erklärung: f″(x₀) < 0 heißt Rechtskurve: Der Graph liegt unter der waagerechten Tangente, ein Hochpunkt.

Für f(x) = x³ − 3x² − 9x gilt f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) und f″(x) = 6x − 6. Gib die x-Koordinate des Hochpunkts an.

Erklärung: Kandidaten: x = −1 und x = 3. f″(−1) = −12 < 0: Hochpunkt bei −1. f″(3) = 12 > 0: Tiefpunkt bei 3.

Bestimme für f(x) = x⁴ − 6x² die Ableitungen f′ und f″. Gib die Intervalle an, auf denen der Graph eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve ist, und entscheide mit dem f″-Test, was bei x = 0 vorliegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: f″ = 12x² − 12 hat die Nullstellen ±1; f″ > 0 außen (Linkskurve), f″ < 0 in [−1; 1] (Rechtskurve). Bei x = 0: f′(0) = 0, f″(0) = −12 < 0, also Hochpunkt.

f(x) = x³ − 3x. Berechne f''(1).

f'(x) = 3x² − 3, f''(x) = 6x. f''(1) = 6.

f(x) = x³ − 12x. Berechne f''(2).

f'(x) = 3x² − 12, f''(x) = 6x. f''(2) = 12.

f'(1) = 0 und f''(1) = 6. Liegt bei x = 1 ein Hochpunkt?

Nein: f''(1) > 0, der Graph ist linksgekrümmt. Bei x = 1 liegt ein Tiefpunkt.

f'(−2) = 0 und f''(−2) = −12. Liegt bei x = −2 ein Tiefpunkt?

Nein: f''(−2) < 0, der Graph ist rechtsgekrümmt. Bei x = −2 liegt ein Hochpunkt.

Aufgabe 1 von 20