Krümmung und f″

Curvature and f″

Mathematik Klasse 11 20 Aufgaben
AnalysisKrümmungDifferentiation

Krümmung ist Monotonie der Steigung: Bei einer Linkskurve wächst f′, bei einer Rechtskurve fällt f′. Die zweite Ableitung f″ liest das am Vorzeichen ab (f″ > 0 Linkskurve, f″ < 0 Rechtskurve), und bei f′(x₀) = 0 entscheidet sie oft zwischen Hoch- und Tiefpunkt; bei f″(x₀) = 0 schweigt der Test (x⁴, x³). Der Abschnitt räumt aus, dass Linkskurve „fallend“ oder „negativ“ bedeute und dass f″(x₀) = 0 ein Extremum ausschließe. Er bereitet die Wendestellen vor.

Linkskurve und Rechtskurve

Ein Graph kann steigen und dabei immer steiler oder immer flacher werden. Das beschreibt seine Krümmung. Bei einer Linkskurve wächst die Steigung: Die Tangente dreht sich gegen den Uhrzeigersinn, der Graph liegt über seinen Tangenten. Bei einer Rechtskurve sinkt die Steigung: Die Tangente dreht sich im Uhrzeigersinn, der Graph liegt unter seinen Tangenten. Krümmung ist also Monotonie der Steigung: Bei einer Linkskurve steigt f′ streng monoton, bei einer Rechtskurve fällt f′.

Beim Graphen von ist , und : Die Steigung sinkt, für x < 0 ist der Graph eine Rechtskurve. Rechts von 0 wächst die Steigung wieder.

Schiebe x₀ von links nach rechts. Wo sinkt die Steigung f′(x₀), wo wächst sie?

Die zweite Ableitung

Die Steigung f′ ist selbst eine Funktion; ihre Ableitung heißt zweite Ableitung f″. Das Vorzeichenkriterium für f′ gilt eine Ableitung höher: f''(x) &gt; 0 heißt, f′ steigt, also Linkskurve; f''(x) &lt; 0 heißt, f′ fällt, also Rechtskurve. Die zweite Ableitung ist keine Kurve, die man erraten muss: Sie entsteht durch nochmaliges Ableiten. Bei ist : negativ für x < 0, positiv für x > 0.

Verschiebe x₀. Wo liegt R über der x-Achse, und wie verläuft f′ dort?

Damit lässt sich ein Extrempunkt prüfen: Aus und f''(x_0) &gt; 0 folgt ein Tiefpunkt (Linkskurve über der waagerechten Tangente), aus f''(x_0) &lt; 0 ein Hochpunkt. Bei −1 ist (Hochpunkt), bei 1 ist (Tiefpunkt). Bei sagt der Test nichts: hat und einen Tiefpunkt, hat und keinen Extrempunkt. Dann hilft nur der Vorzeichenwechsel von f′.

Voraussetzungen (2)

Monotonie und Vorzeichen von f′
Klasse 11
›
Extremstellen bestimmen
Klasse 11
›

Ermöglicht (1)

Wendestellen
Klasse 11
›
Leicht
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Die abgebildeten Tangenten haben von links nach rechts die Steigungen 0,5; 1; 2 und 4. Welche Krümmung hat der Graph?

  • ● Linkskurve
  • ○ Rechtskurve
  • ○ keine Krümmung, weil er nur steigt
Die Steigung wächst von Tangente zu Tangente: Der Graph biegt sich nach links und liegt über seinen Tangenten (Linkskurve). Dass er dabei überall steigt, sagt nichts über die Krümmung.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f. Auf welchem Intervall ist f eine Linkskurve?

  • ● [1; ∞[
  • ○ [3; ∞[
  • ○ [−1; 3]
Eine Linkskurve beginnt dort, wo f′ zu wachsen beginnt: bei x = 1 (dort ist die Steigung am kleinsten, f″(1) = 0). Auf [−1; 3] fällt f, auf [3; ∞[ steigt f; das ist die Monotonie von f, nicht die Krümmung.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f′. Auf dem Intervall [2; 4] ist f eine Linkskurve.

✓ Wahr
Auf [2; 4] steigt f′ (von −3 über 0 bis 5): Die Steigung von f wächst, also Linkskurve. Dass f′ zunächst negativ ist (f fällt), ändert daran nichts: Krümmung fragt nur, ob f′ steigt oder fällt.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 6x² ist f″(x) = 6x − 12. Für welche x ist der Graph eine Rechtskurve?

  • ● x < 2
  • ○ x > 2
  • ○ 0 < x < 4
Rechtskurve heißt f″(x) < 0: 6x − 12 < 0 ⇔ x < 2. Für x > 2 ist f″ positiv (Linkskurve). Das Intervall 0 < x < 4 ist der Bereich, in dem f fällt (f′ = 3x² − 12x < 0), also die Monotonie.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Für f(x) = x⁴ − 2x³ gilt f′(x) = 4x³ − 6x². Wie lautet f″(x)?

  • ● 12x² − 12x
  • ○ 12x³ − 12x²
  • ○ 4x² − 6x
f″ ist die Ableitung von f′: (4x³)′ = 12x² und (6x²)′ = 12x, also f″(x) = 12x² − 12x. Bei 12x³ − 12x² wurde der Exponent nicht um 1 gesenkt, bei 4x² − 6x der Faktor des Exponenten vergessen.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f″ mit f″(x) = 2x − 2. Auf ]1; ∞[ ist f eine Rechtskurve.

✓ Falsch
Auf ]1; ∞[ liegt der Graph von f″ oberhalb der x-Achse: f″ > 0, also Linkskurve. Dass f″ dort ansteigt, ist unerheblich; entscheidend ist das Vorzeichen von f″.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 6x² gilt f′(4) = 0 und f″(4) = 12. Was liegt bei x = 4 vor?

  • ● Tiefpunkt
  • ○ Hochpunkt
  • ○ keine Aussage möglich
f′(4) = 0 (waagerechte Tangente) und f″(4) = 12 > 0 (Linkskurve): Der Graph liegt dort über seiner waagerechten Tangente, also ein Tiefpunkt. Bei f″ < 0 wäre es ein Hochpunkt.
Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Für f(x) = x⁴ gilt f′(0) = 0 und f″(0) = 0. Deshalb hat f bei x = 0 keinen Extrempunkt.

✓ Falsch
Bei f″(0) = 0 sagt der f″-Test nichts. Tatsächlich ist x⁴ ≥ 0 = f(0): ein Tiefpunkt (f′ wechselt bei 0 von − nach +).
Multiple Choice #9 30s ▶ Testen

Bei welcher der drei Funktionen liefert der f″-Test an der Stelle x = 0 keine Entscheidung?

  • ● f(x) = x⁴
  • ○ f(x) = x²
  • ○ f(x) = −x²
Es gilt f′(0) = 0 in allen drei Fällen. f″ ist 12x² (an 0: 0) bei x⁴, aber 2 bei x² (Tiefpunkt) und −2 bei −x² (Hochpunkt). Nur bei x⁴ ist f″(0) = 0 und der Test schweigt.
Wahr / Falsch #10 25s ▶ Testen

f'(1) = 0 und f''(1) = 6. Liegt bei x = 1 ein Hochpunkt?

✓ Nein
Wahr / Falsch #11 25s ▶ Testen

f'(−2) = 0 und f''(−2) = −12. Liegt bei x = −2 ein Tiefpunkt?

✓ Nein
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Nimmt die Steigung von links nach rechts ab, so ist der Graph eine ___ (Linkskurve oder Rechtskurve).

✓ Antwort: Rechtskurve
Sinkende Steigungen heißen: Die Tangente dreht sich im Uhrzeigersinn, der Graph biegt nach rechts, er liegt unter seinen Tangenten.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Für f(x) = x³ + 2x² − x ist f′(x) = 3x² + 4x − 1. Berechne f″(−1).

✓ Antwort: -2
f″(x) = 6x + 4, also f″(−1) = −6 + 4 = −2.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Gilt f′(x₀) = 0 und f″(x₀) < 0, so hat f bei x₀ einen ___ (Hochpunkt oder Tiefpunkt).

✓ Antwort: Hochpunkt
f″(x₀) < 0 heißt Rechtskurve: Der Graph liegt unter der waagerechten Tangente, ein Hochpunkt.
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

f(x) = x³ − 3x. Berechne f''(1).

✓ Antwort: 6
Zahleneingabe #5 45s ▶ Testen

f(x) = x³ − 12x. Berechne f''(2).

✓ Antwort: 12
Schwer
Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Die Tangentensteigung einer Funktion ist an den Stellen 0, 1, 2, 3 der Reihe nach 4, 1, −1, 0. Auf wie vielen der drei Abschnitte 0 → 1, 1 → 2, 2 → 3 ist der Graph eine Rechtskurve?

✓ Antwort: 2
Rechtskurve heißt: Die Steigung sinkt. 4 → 1 sinkt, 1 → −1 sinkt, −1 → 0 steigt. Also zwei Abschnitte.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Für f(x) = −x³ + 3x² ist f″(x) = −6x + 6. Der Graph ist eine Rechtskurve für x > ___.

✓ Antwort: 1
Rechtskurve heißt f″(x) < 0: −6x + 6 < 0 ⇔ x > 1.
Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 3x² − 9x gilt f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) und f″(x) = 6x − 6. Gib die x-Koordinate des Hochpunkts an.

✓ Antwort: -1
Kandidaten: x = −1 und x = 3. f″(−1) = −12 < 0: Hochpunkt bei −1. f″(3) = 12 > 0: Tiefpunkt bei 3.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Bestimme für f(x) = x⁴ − 6x² die Ableitungen f′ und f″. Gib die Intervalle an, auf denen der Graph eine Linkskurve bzw. eine Rechtskurve ist, und entscheide mit dem f″-Test, was bei x = 0 vorliegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f′(x) = 4x³ − 12x, f″(x) = 12x² − 12 = 12(x − 1)(x + 1) mit den Nullstellen −1 und 1. Kontrollwerte: f″(−2) = 36 > 0, f″(0) = −12 < 0, f″(2) = 36 > 0. Linkskurve auf ]−∞; −1] und [1; ∞[, Rechtskurve auf [−1; 1]. Bei x = 0 gilt f′(0) = 0 und f″(0) = −12 < 0: Hochpunkt.
f″ = 12x² − 12 hat die Nullstellen ±1; f″ > 0 außen (Linkskurve), f″ < 0 in [−1; 1] (Rechtskurve). Bei x = 0: f′(0) = 0, f″(0) = −12 < 0, also Hochpunkt.