Monotonie und Vorzeichen von f′

Erklärung: Streng monoton steigend heißt: Je weiter rechts, desto größer der Funktionswert, und zwar für alle Paare. In der ersten Tabelle wächst f(x) mit x: 1 < 3 < 4 < 8. In der zweiten sind f(1) und f(2) gleich (nur monoton, nicht streng), in der dritten ist f(1) = 5 größer als das weiter rechts liegende f(2) = 4.

Erklärung: Für alle x₁ < x₂ in [−1; 1] liegt der rechte Punkt tiefer, zum Beispiel f(−1) = 2 > f(0) = 0 > f(1) = −2. Der Graph fällt von x = −1 bis x = 1 durchgehend.

Erklärung: Im Intervall [−1; 1] liegt bei jedem Paar x₁ < x₂ der rechte Punkt höher. Bei [−2; 1] liegt der Punkt bei x = −2 höher als der bei x = −1, bei [1; 2] fällt der Graph.

Erklärung: Größere x-Werte haben dann kleinere Funktionswerte: f ist streng monoton fallend.

Erklärung: f(−2) = −2 < f(0) = 0: nein. f(0) = 0 > f(1) = −2: ja. f(−1) = 2 > f(0) = 0: ja. f(1) = −2 < f(3) = 18: nein. Also zwei Paare.

Erklärung: f(3) = −5 sagt nur, dass der Punkt unterhalb der x-Achse liegt. Ob der Graph steigt oder fällt, entscheidet das Vorzeichen der Steigung f′(3) = 2 > 0: Er steigt.

Erklärung: Auf [0; 1] liegt der Graph von f′ unter der x-Achse: f′ ist negativ, also fällt f. Dass f′ selbst ansteigt (von −1 auf 0), sagt nur, dass die Steigung von f weniger negativ wird.

Erklärung: f′(x) = 2x − 6 > 0 gilt genau für x > 3.

Erklärung: f′(x) = −2x + 8 > 0 gilt für x < 4. Bis einschließlich x = 4 steigt f, danach fällt es: b = 4.

Erklärung: Nullstellen von f′: x = −2 und x = 2. Kontrollwert im mittleren Intervall: f′(0) = −12 < 0, also fällt f auf [−2; 2]. Außen ist f′(−3) = f′(3) = 15 > 0 (steigend). Die Grenzen ±4 entstehen, wenn man x² = 4 nicht wurzelt.

Erklärung: f steigt, wo f′ oberhalb der x-Achse liegt: links von −2 und rechts von 2. Zwischen −2 und 2 liegt f′ darunter (f fällt). Die Höhe von f′ ist die Steigung von f; dass f′ ab 0 ansteigt, sagt nichts über steigendes f.

Erklärung: 2x² − 50 = 0 ⇒ x² = 25 ⇒ x = ±5. Die größere Stelle ist 5.

Erklärung: f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1) hat die Nullstellen −1 und 3. Kontrollwert f′(0) = −9 < 0: f fällt auf [−1; 3], Länge 3 − (−1) = 4.

Erklärung: f(x) = x³ hat f′(x) = 3x² ≥ 0 mit der einzigen Nullstelle 0 und steigt überall streng. x³ + x hat f′(x) = 3x² + 1 > 0 (keine Nullstelle). x⁴ hat f′(x) = 4x³ < 0 für x < 0: Die Funktion fällt dort.

Erklärung: f′ berührt die x-Achse bei 2, wird aber nie negativ: f′ ≥ 0 auf ganz ℝ. Die Tangente ist bei x = 2 waagerecht, f steigt trotzdem auf beiden Seiten.

Erklärung: 3(x − 2)² = 0 gilt nur für x = 2. An dieser einen Stelle ist die Tangente waagerecht, f steigt aber überall streng monoton.

Erklärung: Es ist f(−1) = −7, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2 und f(3) = 9, also −7 < 0 < 1 < 2 < 9: alle vier Ungleichungen gelten. Auch über die Stelle 1 mit f′(1) = 0 hinweg steigt f: f(0) < f(1) < f(2).

Erklärung: f′(x) = 3x(x − 4) ist null bei 0 und 4. Vorzeichen: f′(−1) = 15 > 0, f′(1) = −9 < 0, f′(5) = 15 > 0. Daraus folgen die Monotonieintervalle.