Monotonie und Vorzeichen von f′

Monotonicity and the sign of f′

Mathematik Klasse 11 19 Aufgaben

AnalysisMonotonieDifferentiation

Streng monoton steigend heißt: Für alle x₁ < x₂ im Intervall gilt f(x₁) < f(x₂). An x³ − 3x zeigt der Abschnitt, dass man das nicht Paar für Paar prüft, sondern am Vorzeichen von f′ abliest, und wie die Nullstellen von f′ mit je einem Kontrollwert die Monotonieintervalle ergeben. Er räumt aus, dass das Vorzeichen von f über Steigen und Fallen entscheidet, dass eine ansteigende f′-Kurve ein steigendes f bedeutet und dass f′(x₀) = 0 die Monotonie zerstört (x³). Er bereitet Extremstellen und Krümmung vor.

Streng monoton

Eine Funktion f ist in einem Intervall I streng monoton steigend, wenn für je zwei Stellen $x_1 < x_2$ aus I gilt: $f(x_1) < f(x_2)$ . Die rechte Stelle hat immer den größeren Funktionswert. Bei streng monoton fallend ist es umgekehrt: $f(x_1) > f(x_2)$ . Die Bedingung gilt für alle Paare, ein einziges Gegenbeispiel widerlegt sie. Beim Graphen von $f (x) = x^{3} - 3 x$ ist $f(-2) = -2 < f(-1) = 2$ : Hier steigt er. Zwischen −1 und 1 fällt er dann wieder. Man stellt sich zwei Punkte P₁ und P₂ auf dem Graphen vor: Liegt P₂ rechts von P₁ und immer höher, egal wo man die beiden wählt, steigt der Graph auf dem ganzen Intervall.

Die Funktion $x \mapsto x^{3}$ ist auf ganz ℝ streng monoton steigend. Für $0 \le x_1 < x_2$ wächst der Würfel mit; für $x_1 < x_2 < 0$ folgt aus $0 < -x_2 < -x_1$ die Ungleichung $-x_2^3 < -x_1^3$ , also $x_1^3 < x_2^3$ ; für $x_1 < 0 \le x_2$ gilt $x_1^3 < 0 \le x_2^3$ .

Verschiebe x₁ und x₂. Bei welchen Paaren mit x₁ < x₂ ist f(x₁) größer als f(x₂)?

Das Vorzeichen von f′

Paar für Paar prüft man das nicht, das übernimmt die Ableitung. Ist $f'(x) > 0$ für alle x eines Intervalls, steigen dort alle Tangenten, und f ist streng monoton steigend; bei $f'(x) < 0$ ist f streng monoton fallend. Es zählt das Vorzeichen von f′, nicht das von f: Ein Graph kann unterhalb der x-Achse steigen. So ersetzt ein einziges Ja oder Nein für das ganze Intervall die vielen einzelnen Vergleiche.

Verschiebe x₀. Wo liegt Q über der x-Achse, und wie verläuft die Tangente in P dann?

Bei $f (x) = x^{3} - 3 x$ ist $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ . Die Nullstellen −1 und 1 zerlegen die x-Achse; je Intervall genügt ein Kontrollwert: $f'(-2) = 9 > 0$ , $f'(0) = -3 < 0$ , $f'(2) = 9 > 0$ .

Die Nullstellen von f′ zerlegen die x-Achse; in jedem Intervall zeigt ein Kontrollwert das Vorzeichen von f′ und damit den Verlauf von f.

Eine einzelne Stelle mit $f^{'} (x) = 0$ stört die strenge Monotonie nicht: Bei $f (x) = x^{3}$ ist $f^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0$ , nur bei 0 gleich null, und f steigt trotzdem überall streng.

Ermöglicht (2)

Extremstellen bestimmen

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welche Wertetabelle kann zu einer streng monoton steigenden Funktion f gehören?

● f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 8
○ f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 3, f(3) = 8
○ f(0) = 1, f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 8

Streng monoton steigend heißt: Je weiter rechts, desto größer der Funktionswert, und zwar für alle Paare. In der ersten Tabelle wächst f(x) mit x: 1 < 3 < 4 < 8. In der zweiten sind f(1) und f(2) gleich (nur monoton, nicht streng), in der dritten ist f(1) = 5 größer als das weiter rechts liegende f(2) = 4.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Der abgebildete Graph gehört zu f(x) = x³ − 3x. Auf dem Intervall [−1; 1] ist f streng monoton fallend.

✓ Wahr

Für alle x₁ < x₂ in [−1; 1] liegt der rechte Punkt tiefer, zum Beispiel f(−1) = 2 > f(0) = 0 > f(1) = −2. Der Graph fällt von x = −1 bis x = 1 durchgehend.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Auf welchem Intervall ist der abgebildete Graph streng monoton steigend?

● [−1; 1]
○ [−2; 1]
○ [1; 2]

Im Intervall [−1; 1] liegt bei jedem Paar x₁ < x₂ der rechte Punkt höher. Bei [−2; 1] liegt der Punkt bei x = −2 höher als der bei x = −1, bei [1; 2] fällt der Graph.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Von einer Funktion f kennst du f(3) = −5 und f′(3) = 2. Wie verläuft der Graph an der Stelle x = 3?

● steigend und unterhalb der x-Achse
○ fallend und unterhalb der x-Achse
○ steigend und oberhalb der x-Achse

f(3) = −5 sagt nur, dass der Punkt unterhalb der x-Achse liegt. Ob der Graph steigt oder fällt, entscheidet das Vorzeichen der Steigung f′(3) = 2 > 0: Er steigt.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f′. Auf dem Intervall [0; 1] ist f streng monoton steigend, weil der Graph von f′ dort ansteigt.

✓ Falsch

Auf [0; 1] liegt der Graph von f′ unter der x-Achse: f′ ist negativ, also fällt f. Dass f′ selbst ansteigt (von −1 auf 0), sagt nur, dass die Steigung von f weniger negativ wird.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 12x ist f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Auf welchem Intervall ist f streng monoton fallend?

● [−2; 2]
○ ]−∞; −2] und [2; ∞[
○ [−4; 4]

Nullstellen von f′: x = −2 und x = 2. Kontrollwert im mittleren Intervall: f′(0) = −12 < 0, also fällt f auf [−2; 2]. Außen ist f′(−3) = f′(3) = 15 > 0 (steigend). Die Grenzen ±4 entstehen, wenn man x² = 4 nicht wurzelt.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f′. Auf welchen Intervallen ist f streng monoton steigend?

● ]−∞; −2] und [2; ∞[
○ [−2; 2]
○ [0; ∞[

f steigt, wo f′ oberhalb der x-Achse liegt: links von −2 und rechts von 2. Zwischen −2 und 2 liegt f′ darunter (f fällt). Die Höhe von f′ ist die Steigung von f; dass f′ ab 0 ansteigt, sagt nichts über steigendes f.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Welche Funktion ist auf ganz ℝ streng monoton steigend, obwohl ihre Ableitung an einer Stelle null ist?

● f(x) = x³
○ f(x) = x³ + x
○ f(x) = x⁴

f(x) = x³ hat f′(x) = 3x² ≥ 0 mit der einzigen Nullstelle 0 und steigt überall streng. x³ + x hat f′(x) = 3x² + 1 > 0 (keine Nullstelle). x⁴ hat f′(x) = 4x³ < 0 für x < 0: Die Funktion fällt dort.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f′ mit f′(x) = (x − 2)². Wie verläuft f in der Umgebung von x = 2?

● f steigt links und rechts von 2
○ f fällt links von 2 und steigt rechts von 2
○ f steigt links von 2 und fällt rechts von 2

f′ berührt die x-Achse bei 2, wird aber nie negativ: f′ ≥ 0 auf ganz ℝ. Die Tangente ist bei x = 2 waagerecht, f steigt trotzdem auf beiden Seiten.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Gilt für alle x₁ < x₂ in einem Intervall I stets f(x₁) > f(x₂), so ist f in I streng monoton ___.

✓ Antwort: fallend

Größere x-Werte haben dann kleinere Funktionswerte: f ist streng monoton fallend.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 6x ist f′(x) = 2x − 6. Ab welcher Stelle ist f streng monoton steigend, also für x > ___?

✓ Antwort: 3

f′(x) = 2x − 6 > 0 gilt genau für x > 3.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Bestimme die größere der beiden Stellen, an denen f′(x) = 2x² − 50 null wird.

✓ Antwort: 5

2x² − 50 = 0 ⇒ x² = 25 ⇒ x = ±5. Die größere Stelle ist 5.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 6x² + 12x ist f′(x) = 3(x − 2)². An wie vielen Stellen ist f′(x) = 0?

✓ Antwort: 1

3(x − 2)² = 0 gilt nur für x = 2. An dieser einen Stelle ist die Tangente waagerecht, f steigt aber überall streng monoton.

Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

f'(x) = 2x − 6. Berechne f'(5).

✓ Antwort: 4

Schwer

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 3x werden vier Stellenpaare (x₁ | x₂) geprüft: (−2 | 0), (0 | 1), (−1 | 0), (1 | 3). Bei wie vielen Paaren gilt f(x₁) > f(x₂)?

✓ Antwort: 2

f(−2) = −2 < f(0) = 0: nein. f(0) = 0 > f(1) = −2: ja. f(−1) = 2 > f(0) = 0: ja. f(1) = −2 < f(3) = 18: nein. Also zwei Paare.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Für f(x) = −x² + 8x ist f′(x) = −2x + 8. Bestimme das größte b, für das f auf ]−∞; b] streng monoton steigend ist.

✓ Antwort: 4

f′(x) = −2x + 8 > 0 gilt für x < 4. Bis einschließlich x = 4 steigt f, danach fällt es: b = 4.

Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Bestimme für f(x) = x³ − 3x² − 9x die Länge des längsten Intervalls, auf dem f streng monoton fallend ist.

✓ Antwort: 4

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1) hat die Nullstellen −1 und 3. Kontrollwert f′(0) = −9 < 0: f fällt auf [−1; 3], Länge 3 − (−1) = 4.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = x³ − 3x² + 3x hat f′(x) = 3(x − 1)² und ist streng monoton steigend. Wie viele der vier Ungleichungen sind wahr: f(−1) < f(0), f(0) < f(1), f(1) < f(2), f(2) < f(3)?

✓ Antwort: 4

Es ist f(−1) = −7, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2 und f(3) = 9, also −7 < 0 < 1 < 2 < 9: alle vier Ungleichungen gelten. Auch über die Stelle 1 mit f′(1) = 0 hinweg steigt f: f(0) < f(1) < f(2).

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bestimme die Intervalle, auf denen f(x) = x³ − 6x² + 5 streng monoton steigend bzw. fallend ist. Bilde f′, bestimme ihre Nullstellen und begründe das Vorzeichen von f′ auf jedem Intervall mit einem Kontrollwert. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f′(x) = 3x² − 12x = 3x(x − 4) mit den Nullstellen 0 und 4. Kontrollwerte: f′(−1) = 15 > 0, f′(1) = −9 < 0, f′(5) = 15 > 0. Also ist f streng monoton steigend auf ]−∞; 0] und auf [4; ∞[ und streng monoton fallend auf [0; 4].

f′(x) = 3x(x − 4) ist null bei 0 und 4. Vorzeichen: f′(−1) = 15 > 0, f′(1) = −9 < 0, f′(5) = 15 > 0. Daraus folgen die Monotonieintervalle.