Das Newton-Verfahren
Abgebildet sind der Graph von f(x) = x² − 2 und die Tangente bei x₀ = 1. Wie groß ist x₁ nach einem Newton-Schritt?
Erklärung: f(1) = −1 und f′(1) = 2. x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1 − (−1)/2 = 1,5, die Nullstelle der Tangente. Mit dem falschen Vorzeichen (1 + (−1)/2) käme 0,5, mit dem umgedrehten Quotienten (1 − 2/(−1)) käme 3.
Abgebildet sind der Graph von f(x) = x² − 4 und die Tangente bei x₀ = 4. Wie groß ist x₁ nach einem Newton-Schritt?
Erklärung: f(4) = 12 und f′(4) = 8, also x₁ = 4 − 12/8 = 2,5: die Nullstelle der Tangente. Der Wert 2 ist die Nullstelle von f selbst (die erst später erreicht wird), 5,5 entsteht mit dem falschen Vorzeichen (4 + 12/8).
Für f(x) = x³ − 10 ist f′(x) = 3x². Welche Rechnung liefert x₁ für den Startwert x₀ = 2?
Erklärung: Newton: x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) mit f(2) = 2³ − 10 im Zähler und f′(2) = 3 · 2² im Nenner. Vertauschte Rollen von f und f′ oder ein Pluszeichen sind die typischen Fehler. Ergebnis: x₁ = 2 − (−2)/12 ≈ 2,167.
Für f(x) = x² − 6 ist f′(x) = 2x. Berechne mit dem Startwert x₀ = 3 den Wert x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀).
Erklärung: f(3) = 9 − 6 = 3 und f′(3) = 6, also x₁ = 3 − 3/6 = 3 − 0,5 = 2,5.
Die Tangente an den Graphen von f(x) = x² − 9 im Punkt (5 | 16) hat die Gleichung y = 10x − 34. Berechne ihre Nullstelle.
Erklärung: 10x − 34 = 0 ⇒ x = 3,4. Das ist genau x₁ = 5 − f(5)/f′(5) = 5 − 16/10 = 3,4: der Newton-Schritt ist die Nullstelle der Tangente.
In Zelle A2 steht der Näherungswert xₙ. Welche Formel in Zelle A3 berechnet den nächsten Wert xₙ₊₁ für f(x) = x² − 7 (mit f′(x) = 2x)?
Erklärung: xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) mit f(xₙ) = A2² − 7 im Zähler und f′(xₙ) = 2 · A2 im Nenner, beide in Klammern. Ohne die Klammer um den Zähler (zweite Formel) wird nur die 7 durch 2 · A2 geteilt, die dritte Formel vertauscht Zähler und Nenner.
Für f(x) = x² − 3 liefert x₀ = 2 die Werte x₁ = 1,75 und x₂ ≈ 1,7321. Wegen √3 ≈ 1,73205 ist x₂ schon auf drei Nachkommastellen genau.
Erklärung: x₂ = 1,75 − (1,75² − 3)/(2 · 1,75) = 1,75 − 0,0625/3,5 ≈ 1,73214. Der Unterschied zu √3 ≈ 1,73205 ist kleiner als 0,0005: 1,732 stimmt auf drei Stellen. Das Verfahren verdoppelt ungefähr die Zahl der richtigen Stellen pro Schritt.
Für f(x) = x² − 2 ist f′(x) = 2x. Berechne x₁ mit dem Startwert x₀ = 3, auf drei Nachkommastellen gerundet.
Erklärung: f(3) = 7 und f′(3) = 6, also x₁ = 3 − 7/6 = 11/6 ≈ 1,833.
Die Gleichung x³ + x = 3 soll mit dem Newton-Verfahren gelöst werden, Startwert x₀ = 1,5. Berechne x₁ auf drei Nachkommastellen gerundet.
Erklärung: Umformen zu f(x) = x³ + x − 3 = 0 mit f′(x) = 3x² + 1. f(1,5) = 3,375 + 1,5 − 3 = 1,875, f′(1,5) = 7,75. x₁ = 1,5 − 1,875/7,75 ≈ 1,5 − 0,2419 ≈ 1,258.
Für f(x) = x³ − 3x soll das Newton-Verfahren mit x₀ = 1 starten. Was passiert im ersten Schritt?
Erklärung: f′(x) = 3x² − 3, also f′(1) = 0: Die Tangente ist waagerecht und schneidet die x-Achse nicht. Die Rechnung f(1)/f′(1) = −2/0 ist nicht möglich. x₁ = 0 ist zwar eine Nullstelle von f, aber nicht das Ergebnis dieses Schritts; 1,67 erhält, wer bei f′ den Summanden −3 vergisst und mit f′(1) = 3 rechnet.
Für f(x) = x³ − 5x liefert der Startwert x₀ = 1 den Wert x₁ = −1 und danach x₂ = 1. Das Verfahren nähert sich also einer Nullstelle.
Erklärung: f(1) = −4, f′(1) = −2, x₁ = 1 − 2 = −1. f(−1) = 4, f′(−1) = −2, x₂ = −1 + 2 = 1. Die Werte springen ewig zwischen 1 und −1, obwohl die Nullstellen bei 0 und ±√5 ≈ ±2,24 liegen: Bei einem ungünstigen Startwert kann das Verfahren im Kreis laufen.
Abgebildet ist der Graph von f(x) = x² − 4 mit den Nullstellen −2 und 2. Mit welchem Startwert findet das Newton-Verfahren die Nullstelle 2?
Erklärung: Ab x₀ = 3 rutscht die Tangentennullstelle nach links auf x₁ ≈ 2,17 und nähert sich der 2. Von x₀ = −3 aus geht es zur Nullstelle −2, und bei x₀ = 0 ist f′(0) = 0: Die Tangente ist waagerecht, es gibt kein x₁.
Für f(x) = x² − 1 ist f′(x) = 2x. Für welchen Startwert x₀ bricht das Newton-Verfahren im ersten Schritt ab?
Erklärung: Der Schritt x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) braucht f′(x₀) ≠ 0. Es gilt f′(x₀) = 2x₀ = 0 nur für x₀ = 0.
Für f(x) = x³ − 12x + 1 soll ein positiver Startwert gewählt werden. Welchen positiven Wert muss man vermeiden, weil dort f′(x₀) = 0 gilt?
Erklärung: f′(x) = 3x² − 12 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2. Der positive Wert ist 2.
Die Gleichung x³ − 2x − 5 = 0 hat eine Lösung nahe 2. Führe zwei Schritte des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x₀ = 2 durch (auf vier Nachkommastellen gerundet) und kontrolliere das Ergebnis, indem du f(x₂) berechnest.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Zwei Schritte: x₁ = 2,1; x₂ ≈ 2,0946; f(2,0946) ≈ 0,0005 ≈ 0 bestätigt die Nullstelle bei etwa 2,0946.