Das Newton-Verfahren

The Newton method

Mathematik Klasse 11 15 Aufgaben

AnalysisNewtonIteration

Für Nullstellen ohne Formel ersetzt das Newton-Verfahren den Graphen durch seine Tangente: x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) ist die Nullstelle der Tangente, und jeder neue Wert wird wieder eingesetzt, von Hand oder in einer Tabellenkalkulation. Es scheitert bei f′(xₙ) = 0 und läuft bei ungünstigem Startwert im Kreis. Der Abschnitt räumt aus, dass das Vorzeichen gleichgültig sei, dass f/f′ und f′/f dasselbe seien und dass das Verfahren immer konvergiere. Er bereitet numerische Verfahren der Oberstufe vor.

Die Tangente als Wegweiser

Für $x^{3} - x - 1 = 0$ gibt es keine Lösungsformel, die man kennt. Das Newton-Verfahren nähert sich der Nullstelle mit Tangenten: Bei einem Startwert x₀ ersetzt man den Graphen durch die Tangente im Punkt $(x_{0} ∣ f (x_{0}))$ und nimmt deren Nullstelle als besseren Wert x₁. Aus $f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) = 0$ folgt

$x_{1} = x_{0} - \frac{f ( x _{0} )}{f ^{'} ( x _{0} )}$

Bei $f (x) = x^{3} - x - 1$ und $x_{0} = 1, 5$ ist $f (1, 5) = 0, 875$ und $f^{'} (1, 5) = 5, 75$ , also $x_{1} = 1, 5 - \frac{0 , 875}{5 , 75} \approx 1, 348$ . Typische Fehler: das Vorzeichen und der Quotient (f durch f′, nicht f′ durch f). Die Tangente ist nahe x₀ die beste gerade Näherung des Graphen, und ihre Nullstelle lässt sich leicht berechnen.

Verschiebe x₀. Wo schneidet die Tangente die x-Achse, und wie weit liegt x₁ von der Nullstelle entfernt?

Iterieren

Setzt man jeden neuen Wert wieder ein, iteriert man: $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ . Schon der dritte Schritt trifft die Nullstelle auf vier Nachkommastellen; ungefähr verdoppelt sich in jedem Schritt die Zahl der richtigen Stellen.

n	x_n	f(x_n)
0	1,500000	0,875000
1	1,347826	0,100682
2	1,325200	0,002058
3	1,324718	0,000001

Schalte n von 1 auf 2. Wie ändern sich Tangente und Schnittpunkt mit der x-Achse von Schritt zu Schritt?

Ein Tabellenkalkulationsprogramm übernimmt die Rechnung: Steht x₀ in A1, lautet A2 =A1-(A1^3-A1-1)/(3*A1^2-1), dann nach unten ziehen. Man hört auf, wenn sich der Wert in der gewünschten Stelle nicht mehr ändert, und prüft mit $f (x_{n}) \approx 0$ . Solche Näherungsverfahren werden in Klimamodellen, im Flugzeugbau und an der Börse eingesetzt.

Wenn Newton scheitert

Ist $f^{'} (x_{n}) = 0$ , ist die Tangente waagerecht und hat keine Nullstelle: Die Rechnung bricht ab. Ist f′(xₙ) nur sehr klein, ist die Tangente fast waagerecht, und der nächste Wert springt weit vom bisherigen weg. Ein ungünstiger Startwert kann außerdem zu einer weit entfernten Nullstelle führen oder im Kreis laufen: Für $f (x) = x^{3} - 2 x + 2$ und $x_{0} = 0$ ist $x_{1} = 1$ und wieder $x_{2} = 0$ , obwohl die Nullstelle bei etwa −1,77 liegt. Deshalb genügt kein blindes Weiterrechnen: Man wählt x₀ nahe an der Nullstelle (Skizze oder Wertetabelle) und kontrolliert am Ende $f (x_{n})$ .

Lies bei x₀ = 0 den Wert x₁ ab. Setze dann x₀ auf x₁: Wohin führt der nächste Schritt? Probiere danach x₀ = −1,5.

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Abgebildet sind der Graph von f(x) = x² − 2 und die Tangente bei x₀ = 1. Wie groß ist x₁ nach einem Newton-Schritt?

● 1,5
○ 0,5
○ 3

f(1) = −1 und f′(1) = 2. x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1 − (−1)/2 = 1,5, die Nullstelle der Tangente. Mit dem falschen Vorzeichen (1 + (−1)/2) käme 0,5, mit dem umgedrehten Quotienten (1 − 2/(−1)) käme 3.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Abgebildet sind der Graph von f(x) = x² − 4 und die Tangente bei x₀ = 4. Wie groß ist x₁ nach einem Newton-Schritt?

● 2,5
○ 5,5
○ 2

f(4) = 12 und f′(4) = 8, also x₁ = 4 − 12/8 = 2,5: die Nullstelle der Tangente. Der Wert 2 ist die Nullstelle von f selbst (die erst später erreicht wird), 5,5 entsteht mit dem falschen Vorzeichen (4 + 12/8).

Multiple Choice #3 35s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 10 ist f′(x) = 3x². Welche Rechnung liefert x₁ für den Startwert x₀ = 2?

● x₁ = 2 − (2³ − 10)/(3 · 2²)
○ x₁ = 2 − (3 · 2²)/(2³ − 10)
○ x₁ = 2 + (2³ − 10)/(3 · 2²)

Newton: x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) mit f(2) = 2³ − 10 im Zähler und f′(2) = 3 · 2² im Nenner. Vertauschte Rollen von f und f′ oder ein Pluszeichen sind die typischen Fehler. Ergebnis: x₁ = 2 − (−2)/12 ≈ 2,167.

Multiple Choice #4 40s ▶ Testen

In Zelle A2 steht der Näherungswert xₙ. Welche Formel in Zelle A3 berechnet den nächsten Wert xₙ₊₁ für f(x) = x² − 7 (mit f′(x) = 2x)?

● =A2-(A2^2-7)/(2*A2)
○ =A2-A2^2-7/(2*A2)
○ =A2-(2*A2)/(A2^2-7)

xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ) mit f(xₙ) = A2² − 7 im Zähler und f′(xₙ) = 2 · A2 im Nenner, beide in Klammern. Ohne die Klammer um den Zähler (zweite Formel) wird nur die 7 durch 2 · A2 geteilt, die dritte Formel vertauscht Zähler und Nenner.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 3 liefert x₀ = 2 die Werte x₁ = 1,75 und x₂ ≈ 1,7321. Wegen √3 ≈ 1,73205 ist x₂ schon auf drei Nachkommastellen genau.

✓ Wahr

x₂ = 1,75 − (1,75² − 3)/(2 · 1,75) = 1,75 − 0,0625/3,5 ≈ 1,73214. Der Unterschied zu √3 ≈ 1,73205 ist kleiner als 0,0005: 1,732 stimmt auf drei Stellen. Das Verfahren verdoppelt ungefähr die Zahl der richtigen Stellen pro Schritt.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 3x soll das Newton-Verfahren mit x₀ = 1 starten. Was passiert im ersten Schritt?

● Die Tangente ist waagerecht, es gibt kein x₁
○ x₁ = 0
○ x₁ = 1 − (−2)/3 ≈ 1,67

f′(x) = 3x² − 3, also f′(1) = 0: Die Tangente ist waagerecht und schneidet die x-Achse nicht. Die Rechnung f(1)/f′(1) = −2/0 ist nicht möglich. x₁ = 0 ist zwar eine Nullstelle von f, aber nicht das Ergebnis dieses Schritts; 1,67 erhält, wer bei f′ den Summanden −3 vergisst und mit f′(1) = 3 rechnet.

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 5x liefert der Startwert x₀ = 1 den Wert x₁ = −1 und danach x₂ = 1. Das Verfahren nähert sich also einer Nullstelle.

✓ Falsch

f(1) = −4, f′(1) = −2, x₁ = 1 − 2 = −1. f(−1) = 4, f′(−1) = −2, x₂ = −1 + 2 = 1. Die Werte springen ewig zwischen 1 und −1, obwohl die Nullstellen bei 0 und ±√5 ≈ ±2,24 liegen: Bei einem ungünstigen Startwert kann das Verfahren im Kreis laufen.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f(x) = x² − 4 mit den Nullstellen −2 und 2. Mit welchem Startwert findet das Newton-Verfahren die Nullstelle 2?

● x₀ = 3
○ x₀ = −3
○ x₀ = 0

Ab x₀ = 3 rutscht die Tangentennullstelle nach links auf x₁ ≈ 2,17 und nähert sich der 2. Von x₀ = −3 aus geht es zur Nullstelle −2, und bei x₀ = 0 ist f′(0) = 0: Die Tangente ist waagerecht, es gibt kein x₁.

Mittel

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 6 ist f′(x) = 2x. Berechne mit dem Startwert x₀ = 3 den Wert x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀).

✓ Antwort: 2.5

f(3) = 9 − 6 = 3 und f′(3) = 6, also x₁ = 3 − 3/6 = 3 − 0,5 = 2,5.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 2 ist f′(x) = 2x. Berechne x₁ mit dem Startwert x₀ = 3, auf drei Nachkommastellen gerundet.

✓ Antwort: 1.833

f(3) = 7 und f′(3) = 6, also x₁ = 3 − 7/6 = 11/6 ≈ 1,833.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Für f(x) = x² − 1 ist f′(x) = 2x. Für welchen Startwert x₀ bricht das Newton-Verfahren im ersten Schritt ab?

✓ Antwort: 0

Der Schritt x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) braucht f′(x₀) ≠ 0. Es gilt f′(x₀) = 2x₀ = 0 nur für x₀ = 0.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Die Tangente an den Graphen von f(x) = x² − 9 im Punkt (5 | 16) hat die Gleichung y = 10x − 34. Berechne ihre Nullstelle.

✓ Antwort: 3.4

10x − 34 = 0 ⇒ x = 3,4. Das ist genau x₁ = 5 − f(5)/f′(5) = 5 − 16/10 = 3,4: der Newton-Schritt ist die Nullstelle der Tangente.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Die Gleichung x³ + x = 3 soll mit dem Newton-Verfahren gelöst werden, Startwert x₀ = 1,5. Berechne x₁ auf drei Nachkommastellen gerundet.

✓ Antwort: 1.258

Umformen zu f(x) = x³ + x − 3 = 0 mit f′(x) = 3x² + 1. f(1,5) = 3,375 + 1,5 − 3 = 1,875, f′(1,5) = 7,75. x₁ = 1,5 − 1,875/7,75 ≈ 1,5 − 0,2419 ≈ 1,258.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 12x + 1 soll ein positiver Startwert gewählt werden. Welchen positiven Wert muss man vermeiden, weil dort f′(x₀) = 0 gilt?

✓ Antwort: 2

f′(x) = 3x² − 12 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2. Der positive Wert ist 2.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Die Gleichung x³ − 2x − 5 = 0 hat eine Lösung nahe 2. Führe zwei Schritte des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x₀ = 2 durch (auf vier Nachkommastellen gerundet) und kontrolliere das Ergebnis, indem du f(x₂) berechnest. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(x) = x³ − 2x − 5, f′(x) = 3x² − 2. f(2) = −1, f′(2) = 10: x₁ = 2 − (−1)/10 = 2,1. f(2,1) = 9,261 − 4,2 − 5 = 0,061, f′(2,1) = 13,23 − 2 = 11,23: x₂ = 2,1 − 0,061/11,23 ≈ 2,0946. Kontrolle: f(2,0946) = 2,0946³ − 2 · 2,0946 − 5 ≈ 0,0005, also nahe null: Die Nullstelle liegt bei etwa 2,0946 (genauer 2,09455).

Zwei Schritte: x₁ = 2,1; x₂ ≈ 2,0946; f(2,0946) ≈ 0,0005 ≈ 0 bestätigt die Nullstelle bei etwa 2,0946.