Eine Funktion vollständig untersuchen
Für f(x) = x³ − 3x² hast du f′(x) = 3x² − 6x und f″(x) = 6x − 6 gebildet. Was ist der nächste Schritt für die Extrempunkte?
Erklärung: Extremstellen brauchen eine waagerechte Tangente: f′(x) = 0. f″(x) = 0 liefert die Kandidaten für Wendestellen, f(x) = 0 die Nullstellen von f.
Bringe die Schritte zur Bestimmung der Extrempunkte in die richtige Reihenfolge.
Erklärung: Erst die Ableitung bilden, dann die Kandidaten aus f′(x) = 0 bestimmen, dann prüfen, ob dort f′ das Vorzeichen wechselt (Hoch- oder Tiefpunkt), und zuletzt den y-Wert aus f berechnen.
Für f(x) = x³ − 3x² ist f″(x) = 6x − 6. Löse f″(x) = 0 (Kandidat für die Wendestelle).
Erklärung: 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1. Ob dort wirklich f″ das Vorzeichen wechselt, zeigt f″(0) = −6 < 0 und f″(2) = 6 > 0: ja, Wendestelle.
Bestimme den Tiefpunkt von f(x) = x³ − 3x² und gib seine y-Koordinate an.
Erklärung: f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 oder x = 2. f′ wechselt bei 0 von + nach − (Hochpunkt), bei 2 von − nach + (Tiefpunkt). y-Wert aus f: f(2) = 8 − 12 = −4. Tiefpunkt (2 | −4).
Wie viele Extrempunkte kann der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades höchstens haben?
Erklärung: f′ hat den Grad 3 und damit höchstens drei Nullstellen; jede Extremstelle ist eine Nullstelle von f′. Also höchstens 3 Extrempunkte (Grad − 1), nicht 4.
Abgebildet ist der Graph einer ganzrationalen Funktion. Ihr Grad kann 3 sein.
Erklärung: Der Graph hat zwei Extrempunkte. Dafür braucht f′ mindestens zwei Nullstellen, also mindestens den Grad 2, und f mindestens den Grad 3. Grad 3 reicht (eine Funktion 2. Grades hätte nur einen Extrempunkt).
Abgebildet ist der Graph einer ganzrationalen Funktion. Welchen Grad hat sie mindestens?
Erklärung: Der Graph hat drei Extrempunkte. Dann hat f′ mindestens drei Nullstellen, also mindestens den Grad 3, und f mindestens den Grad 4. Grad 3 (wie viele Extrempunkte) ist der typische Fehler.
Eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 hat höchstens ___ Wendestellen.
Erklärung: f″ hat den Grad 5 − 2 = 3 und damit höchstens drei Nullstellen; jede Wendestelle ist eine Nullstelle von f″.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion hat vier Extrempunkte. Welchen Grad hat die Funktion mindestens?
Erklärung: Vier Extremstellen sind vier Nullstellen von f′. Dazu braucht f′ mindestens den Grad 4, also f mindestens den Grad 5.
Abgebildet ist der Graph von f(x) = x²(x − 3). Auf der x-Achse liegt ein Extrempunkt. Welcher Punkt ist es?
Erklärung: Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse und kehrt um: (0 | 0) ist ein Extrempunkt (Hochpunkt). Bei der einfachen Nullstelle 3 schneidet der Graph die Achse, kein Extrempunkt. (−3 | 0) ist keine Nullstelle (Vorzeichenfehler).
Eine Schülerin skizziert den Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten wie abgebildet. Die Skizze kann stimmen.
Erklärung: Bei positivem Leitkoeffizienten läuft der Graph rechts nach oben (und links nach unten). Die Skizze fällt rechts aber ab: Sie gehört zu einem negativen Leitkoeffizienten. Merke: Bei positivem Leitkoeffizienten liegt der Hochpunkt links vom Tiefpunkt.
Abgebildet ist der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit einem Hochpunkt bei x = −1 und einem Tiefpunkt bei x = 3. Wo liegt die Wendestelle?
Erklärung: Bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades liegt die Wendestelle genau in der Mitte der beiden Extremstellen: (−1 + 3) : 2 = 1. x = 2 ist die Summe ohne Halbieren, x = 3 ist die Tiefpunktstelle selbst.
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat Extremstellen bei x = 2 und x = 8. Bei welcher Stelle liegt ihre Wendestelle?
Erklärung: Die Wendestelle liegt in der Mitte der beiden Extremstellen: (2 + 8) : 2 = 5.
Die Funktion f(x) = (x − 1)²(x + 2) hat bei x = 1 eine doppelte Nullstelle, also dort einen Extrempunkt. Bestimme die x-Koordinate des zweiten Extrempunkts.
Erklärung: Ausmultipliziert ist f(x) = x³ − 3x + 2 und f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Die Nullstellen von f′ sind 1 (der Tiefpunkt auf der x-Achse) und −1. Der zweite Extrempunkt liegt bei x = −1 (Hochpunkt (−1 | 4)).
Untersuche f(x) = −x³ + 3x² + 9x: Beschreibe das Verhalten für x → ±∞, bestimme alle Extrempunkte (mit Vorzeichenwechsel von f′) und den Wendepunkt (mit Vorzeichenwechsel von f″) und gib die drei Punkte mit ihren Koordinaten an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Randverhalten aus dem Leitkoeffizienten, Kandidaten −1 und 3 aus f′ = 0, Vorzeichenwechsel und y-Werte aus f: T(−1 | −5), H(3 | 27); f″ = 0 bei x = 1 mit Vorzeichenwechsel: W(1 | 11).