Eine Funktion vollständig untersuchen

A complete analysis

Mathematik Klasse 11 15 Aufgaben

AnalysisKurvendiskussionPolynom

Eine Kurvendiskussion beantwortet ihre Fragen in fester Reihenfolge: Nullstellen und Randverhalten, f′ und f″, Extrempunkte mit Vorzeichenwechsel, Wendepunkt, Skizze. Bei Grad n gibt es höchstens n − 1 Extremstellen und n − 2 Wendestellen; als Kontrolle ist eine doppelte Nullstelle ein Extrempunkt auf der x-Achse, und der Wendepunkt einer Funktion 3. Grades liegt mittig zwischen den Extremstellen. Der Abschnitt räumt aus, dass f″ die Extremkandidaten liefert und dass man y-Werte aus f′ liest. Er bereitet die Analysis der Jahrgangsstufe 12 vor.

Der Fahrplan

Eine Untersuchung stellt ihre Fragen in fester Reihenfolge, jede Antwort baut auf der vorigen auf: 1. Nullstellen und Randverhalten aus dem Term, 2. f′ und f″ bilden, 3. Extrempunkte aus $f^{'} (x) = 0$ mit Vorzeichenwechsel, 4. den Wendepunkt aus $f^{''} (x) = 0$ mit Vorzeichenwechsel, 5. Skizze und Kontrolle. Den y-Wert liefert immer f. Die ersten Schritte brauchen noch keine Ableitung: Nullstellen und Randverhalten kennst du aus dem Term.

Wir untersuchen $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . Ausklammern gibt $x (x^{2} - 6 x + 9) = x (x - 3)^{2}$ : Die Nullstelle 0 ist einfach, die Nullstelle 3 doppelt (Berührpunkt). Der Leitkoeffizient ist positiv, der Grad ungerade: Der Graph kommt von links unten und läuft nach rechts oben.

Schalte die Schritte 1 bis 5 durch. Welche Punkte kommen in welchem Schritt dazu?

Extrem- und Wendepunkte

Es ist $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ und $f^{''} (x) = 6 x - 12$ . Kandidaten sind x = 1 und x = 3. f′ wechselt bei 1 von + nach − (Hochpunkt) und bei 3 von − nach + (Tiefpunkt); der f″-Test bestätigt das: $f''(1) = -6 < 0$ , $f''(3) = 6 > 0$ . Die y-Werte kommen aus f: $H (1 ∣ 4)$ und $T (3 ∣ 0)$ . Der Tiefpunkt liegt auf der x-Achse, passend zur doppelten Nullstelle 3.

Vorzeichentabelle von f′(x) = 3(x − 1)(x − 3): Wechsel von + nach − bei 1 (Hochpunkt H), von − nach + bei 3 (Tiefpunkt T).

Wendepunkt: $f^{''} (x) = 6 x - 12 = 0$ für x = 2, f″ wechselt von − nach +, und $f (2) = 2$ , also $W (2 ∣ 2)$ . Da f′ den Grad 2 und f″ den Grad 1 hat, kann es höchstens 2 Extremstellen und 1 Wendestelle geben: Bei Grad n sind es höchstens n − 1 Extremstellen und n − 2 Wendestellen.

Skizze und Kontrolle

Mit $O (0 ∣ 0)$ , H, W und T entsteht der Graph: von links unten steigend zum Hochpunkt, Rechtskurve bis zum Wendepunkt, dann Linkskurve zum Tiefpunkt auf der x-Achse und wieder steigend. Kontrolle: Der Wendepunkt einer Funktion 3. Grades liegt genau in der Mitte der beiden Extremstellen, hier $(1 + 3) : 2 = 2$ . Bei positivem Leitkoeffizienten liegt der Hochpunkt links vom Tiefpunkt. Der Tiefpunkt (3 | 0) fällt mit der doppelten Nullstelle zusammen, wie es die Kontrolle verlangt. Ein Funktionenplotter bestätigt das Bild, die Begründung liefert die Rechnung. Weichen Skizze und Rechnung voneinander ab, sucht man zuerst den Rechenfehler: oft wurde ein y-Wert aus f′ statt aus f gelesen.

Verschiebe x₀. Wo schneidet f″ die x-Achse, und was zeigen f′ und f an dieser Stelle?

Voraussetzungen (2)

Extremstellen bestimmen

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 3x² hast du f′(x) = 3x² − 6x und f″(x) = 6x − 6 gebildet. Was ist der nächste Schritt für die Extrempunkte?

● f′(x) = 0 lösen
○ f″(x) = 0 lösen
○ f(x) = 0 lösen

Extremstellen brauchen eine waagerechte Tangente: f′(x) = 0. f″(x) = 0 liefert die Kandidaten für Wendestellen, f(x) = 0 die Nullstellen von f.

Sortieren #2 40s ▶ Testen

Bringe die Schritte zur Bestimmung der Extrempunkte in die richtige Reihenfolge.

✓ Antwort: f′ bilden,f′(x) = 0 lösen,Vorzeichenwechsel von f′ prüfen,y-Wert mit f berechnen

Erst die Ableitung bilden, dann die Kandidaten aus f′(x) = 0 bestimmen, dann prüfen, ob dort f′ das Vorzeichen wechselt (Hoch- oder Tiefpunkt), und zuletzt den y-Wert aus f berechnen.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Wie viele Extrempunkte kann der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades höchstens haben?

● 3
○ 4
○ 2

f′ hat den Grad 3 und damit höchstens drei Nullstellen; jede Extremstelle ist eine Nullstelle von f′. Also höchstens 3 Extrempunkte (Grad − 1), nicht 4.

Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph einer ganzrationalen Funktion. Ihr Grad kann 3 sein.

✓ Wahr

Der Graph hat zwei Extrempunkte. Dafür braucht f′ mindestens zwei Nullstellen, also mindestens den Grad 2, und f mindestens den Grad 3. Grad 3 reicht (eine Funktion 2. Grades hätte nur einen Extrempunkt).

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph einer ganzrationalen Funktion. Welchen Grad hat sie mindestens?

● 4
○ 3
○ 2

Der Graph hat drei Extrempunkte. Dann hat f′ mindestens drei Nullstellen, also mindestens den Grad 3, und f mindestens den Grad 4. Grad 3 (wie viele Extrempunkte) ist der typische Fehler.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph von f(x) = x²(x − 3). Auf der x-Achse liegt ein Extrempunkt. Welcher Punkt ist es?

● (0 | 0)
○ (3 | 0)
○ (−3 | 0)

Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse und kehrt um: (0 | 0) ist ein Extrempunkt (Hochpunkt). Bei der einfachen Nullstelle 3 schneidet der Graph die Achse, kein Extrempunkt. (−3 | 0) ist keine Nullstelle (Vorzeichenfehler).

Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Eine Schülerin skizziert den Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten wie abgebildet. Die Skizze kann stimmen.

✓ Falsch

Bei positivem Leitkoeffizienten läuft der Graph rechts nach oben (und links nach unten). Die Skizze fällt rechts aber ab: Sie gehört zu einem negativen Leitkoeffizienten. Merke: Bei positivem Leitkoeffizienten liegt der Hochpunkt links vom Tiefpunkt.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Abgebildet ist der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit einem Hochpunkt bei x = −1 und einem Tiefpunkt bei x = 3. Wo liegt die Wendestelle?

● x = 1
○ x = 2
○ x = 3

Bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades liegt die Wendestelle genau in der Mitte der beiden Extremstellen: (−1 + 3) : 2 = 1. x = 2 ist die Summe ohne Halbieren, x = 3 ist die Tiefpunktstelle selbst.

Mittel

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Für f(x) = x³ − 3x² ist f″(x) = 6x − 6. Löse f″(x) = 0 (Kandidat für die Wendestelle).

✓ Antwort: 1

6x − 6 = 0 ⇒ x = 1. Ob dort wirklich f″ das Vorzeichen wechselt, zeigt f″(0) = −6 < 0 und f″(2) = 6 > 0: ja, Wendestelle.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 hat höchstens ___ Wendestellen.

✓ Antwort: 3

f″ hat den Grad 5 − 2 = 3 und damit höchstens drei Nullstellen; jede Wendestelle ist eine Nullstelle von f″.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat Extremstellen bei x = 2 und x = 8. Bei welcher Stelle liegt ihre Wendestelle?

✓ Antwort: 5

Die Wendestelle liegt in der Mitte der beiden Extremstellen: (2 + 8) : 2 = 5.

Schwer

Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Bestimme den Tiefpunkt von f(x) = x³ − 3x² und gib seine y-Koordinate an.

✓ Antwort: -4

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 oder x = 2. f′ wechselt bei 0 von + nach − (Hochpunkt), bei 2 von − nach + (Tiefpunkt). y-Wert aus f: f(2) = 8 − 12 = −4. Tiefpunkt (2 | −4).

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Der Graph einer ganzrationalen Funktion hat vier Extrempunkte. Welchen Grad hat die Funktion mindestens?

✓ Antwort: 5

Vier Extremstellen sind vier Nullstellen von f′. Dazu braucht f′ mindestens den Grad 4, also f mindestens den Grad 5.

Zahleneingabe #3 55s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = (x − 1)²(x + 2) hat bei x = 1 eine doppelte Nullstelle, also dort einen Extrempunkt. Bestimme die x-Koordinate des zweiten Extrempunkts.

✓ Antwort: -1

Ausmultipliziert ist f(x) = x³ − 3x + 2 und f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Die Nullstellen von f′ sind 1 (der Tiefpunkt auf der x-Achse) und −1. Der zweite Extrempunkt liegt bei x = −1 (Hochpunkt (−1 | 4)).

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = −x³ + 3x² + 9x: Beschreibe das Verhalten für x → ±∞, bestimme alle Extrempunkte (mit Vorzeichenwechsel von f′) und den Wendepunkt (mit Vorzeichenwechsel von f″) und gib die drei Punkte mit ihren Koordinaten an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Randverhalten: Der Leitkoeffizient −1 ist negativ, der Grad ungerade: f(x) → +∞ für x → −∞ und f(x) → −∞ für x → +∞. f′(x) = −3x² + 6x + 9 = −3(x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 oder x = 3. f′(−2) = −15 < 0, f′(0) = 9 > 0, f′(4) = −15 < 0: bei −1 wechselt f′ von − nach +, Tiefpunkt (−1 | f(−1)) = (−1 | −5); bei 3 von + nach −, Hochpunkt (3 | 27). f″(x) = −6x + 6 = 0 ⇒ x = 1; f″ wechselt von + nach −: Wendepunkt (1 | f(1)) = (1 | 11). Kontrolle: Die Wendestelle 1 liegt in der Mitte von −1 und 3.

Randverhalten aus dem Leitkoeffizienten, Kandidaten −1 und 3 aus f′ = 0, Vorzeichenwechsel und y-Werte aus f: T(−1 | −5), H(3 | 27); f″ = 0 bei x = 1 mit Vorzeichenwechsel: W(1 | 11).