Bei welcher Funktion hat der Graph im Ursprung einen Wendepunkt?

Erklärung: f″ ist 6x bei x³ (wechselt bei 0 das Vorzeichen: Wendepunkt), 12x² bei x⁴ (f″(0) = 0, aber f″ ≥ 0 auf beiden Seiten: kein Wendepunkt) und 2 bei x² (f″(0) ≠ 0).

Für f(x) = x⁴ ist f″(x) = 12x². Trotz f″(0) = 0 hat der Graph im Ursprung keinen Wendepunkt.

Erklärung: f″(0) = 0 ist nur notwendig. Es gilt f″(x) = 12x² ≥ 0 auf beiden Seiten: keine Krümmungsänderung, der Graph bleibt eine Linkskurve. Kein Wendepunkt.

Für f(x) = x³ − 9x² + 5x ist f″(x) = 6x − 18. Löse f″(x) = 0.

Erklärung: 6x − 18 = 0 ⇒ x = 3. Das ist der Kandidat für die Wendestelle.

Für f(x) = x⁵ − 5x⁴ ist f″(x) = 20x³ − 60x² = 20x²(x − 3). Wie viele Kandidaten für Wendestellen gibt es?

Erklärung: f″(x) = 0 gilt für x = 0 und x = 3: zwei Kandidaten. Ob es wirklich Wendestellen sind, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f″.

Abgebildet ist der Graph von f″. Was liegt bei x = 1 vor?

Erklärung: f″ ist links von 1 negativ (Rechtskurve), bei 1 null und rechts von 1 positiv (Linkskurve). Der Vorzeichenwechsel von − nach + macht x = 1 zur Wendestelle, an der die Krümmung von Rechts- zu Linkskurve wechselt.

Abgebildet ist der Graph von f″ mit f″(x) = x(x − 2)². Bei x = 0 hat f eine Wendestelle.

Erklärung: Bei x = 0 wechselt f″ von − nach +: eine Wendestelle. (Bei x = 2 berührt f″ die x-Achse nur und bleibt positiv: dort keine Wendestelle.)

Für f(x) = x⁵ − 5x⁴ ist f″(x) = 20x²(x − 3). An wie vielen Stellen wechselt f″ das Vorzeichen?

Erklärung: Bei x = 0 ist der Faktor x² doppelt: Er ist nie negativ, f″ wechselt dort nicht das Vorzeichen. Bei x = 3 wechselt der einfache Faktor (x − 3) das Vorzeichen. Also genau eine Stelle: x = 3.

Es gilt f″(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 4). Bestimme die Anzahl der Wendestellen von f.

Erklärung: f″ hat die Nullstellen −2 (einfach), 1 (doppelt) und 4 (einfach). Nur bei einfachen Nullstellen wechselt f″ das Vorzeichen: bei −2 und bei 4. Bei 1 ändert sich die Krümmung nicht. Also zwei Wendestellen.

Für f(x) = x³ − 3x² + 4 liegt die einzige Wendestelle bei x = 1. Wie lautet der Wendepunkt?

Erklärung: Die y-Koordinate liefert f: f(1) = 1 − 3 + 4 = 2. Der Wert −3 ist die Steigung f′(1), der Wert 0 ist f″(1).

Abgebildet ist der Graph von f(x) = x³ + 3x². Die einzige Wendestelle liegt bei x = −1. Wie lautet der Wendepunkt?

Erklärung: Der Wendepunkt ist (−1 | f(−1)) = (−1 | −1 + 3) = (−1 | 2). (2 | −1) vertauscht die Koordinaten; (−2 | 4) ist der Hochpunkt, eine Extremstelle, keine Wendestelle.

Die Wendestelle von f(x) = x³ − 6x² + 4 liegt bei x = 2. Berechne den y-Wert des Wendepunkts.

Erklärung: Der y-Wert kommt aus f: f(2) = 8 − 24 + 4 = −12. Der Wendepunkt ist (2 | −12).

Bestimme die y-Koordinate des Wendepunkts von f(x) = −x³ + 6x² − 2.

Erklärung: f″(x) = −6x + 12 = 0 ⇒ x = 2 (f″ wechselt von + nach −: Wendestelle). f(2) = −8 + 24 − 2 = 14. Der Wendepunkt ist (2 | 14).

Die Wassermenge in einem Becken wird beschrieben durch V(t) = −t³ + 12t² (V in Litern, t in Minuten, 0 ≤ t ≤ 12). Abgebildet ist der Graph von V. Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge am stärksten zu?

Erklärung: Die stärkste Zunahme ist die größte Steigung V′, also die Wendestelle: V″(t) = −6t + 24 = 0 ⇒ t = 4 (V′(4) = 48 Liter pro Minute). t = 8 ist der Zeitpunkt der größten Wassermenge (V′(8) = 0), bei t = 12 ist das Becken wieder leer.

Abgebildet ist der Graph von N′, der Wachstumsrate eines Bakterienbestands N (t in Stunden). Der Graph von N hat bei t = 5 eine Wendestelle.

Erklärung: N′ hat bei t = 5 sein Maximum (75). Die Steigung von N ist dort extremal, N″ = (N′)′ wechselt bei 5 das Vorzeichen: Wendestelle. Der Bestand wächst zu diesem Zeitpunkt am schnellsten.

Abgebildet ist der Graph von f. An welcher Stelle ist die Steigung von f am größten?

Erklärung: Die Steigung ist am größten im Wendepunkt bei x = 1 (f′(1) = 3, f′ = −3x² + 6x hat dort sein Maximum). Bei x = 2 liegt der höchste Punkt des Graphen mit der Steigung 0, bei x = 0 der tiefste Punkt, ebenfalls mit Steigung 0.

Die Zahl der Downloads einer App wird beschrieben durch D(t) = −t³ + 18t² (t in Tagen, 0 ≤ t ≤ 12), es gilt D″(t) = −6t + 36. Zu welchem Zeitpunkt t nimmt die Zahl der Downloads am stärksten zu?

Erklärung: Die stärkste Zunahme liegt an der Wendestelle: D″(t) = −6t + 36 = 0 ⇒ t = 6.

Die Füllhöhe eines Tanks ist H(t) = −t³ + 6t² (H in dm, t in Stunden, 0 ≤ t ≤ 4), es gilt H′(t) = −3t² + 12t und H″(t) = −6t + 12. Wie groß ist die größte Zunahme der Füllhöhe (in dm pro Stunde)?

Erklärung: Die größte Zunahme liegt bei der Wendestelle t = 2 (H″(2) = 0). Dort ist H′(2) = −12 + 24 = 12 dm pro Stunde.

Bestimme alle Wendepunkte von f(x) = x⁴ − 4x³. Löse f″(x) = 0, begründe mit dem Vorzeichen von f″ links und rechts jeder Kandidatenstelle, dass es Wendestellen sind, und berechne die y-Werte. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: f″ = 12x(x − 2): Kandidaten 0 und 2, Vorzeichenwechsel + → − bei 0 und − → + bei 2; y-Werte aus f: W₁(0 | 0), W₂(2 | −16).

f(x) = x³ − 6x² + 9x. Löse f''(x) = 0. Wo liegt die Wendestelle?

f'(x) = 3x² − 12x + 9, f''(x) = 6x − 12. f''(x) = 0 bei x = 2; f'' wechselt dort das Vorzeichen.

f(x) = x³ − 9x² + 24x. Löse f''(x) = 0. Wo liegt die Wendestelle?

f'(x) = 3x² − 18x + 24, f''(x) = 6x − 18. f''(x) = 0 bei x = 3; f'' wechselt dort das Vorzeichen.

f(x) = x³ − 6x² + 9x hat bei x = 2 einen Wendepunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?

Das ist f'(2). Die y-Koordinate ist f(2).

Die y-Koordinate ist f(2) = 2. Der Wendepunkt ist (2 | 2).

f(x) = x³ − 9x² + 24x hat bei x = 3 einen Wendepunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?

Das ist f'(3). Die y-Koordinate ist f(3).

Die y-Koordinate ist f(3) = 18. Der Wendepunkt ist (3 | 18).

Aufgabe 1 von 22