Wendestellen
Inflection points
An einer Wendestelle wechselt die Krümmung: f″(x₀) = 0 ist notwendig, hinreichend ist der Vorzeichenwechsel von f″; den y-Wert des Wendepunkts liefert f. Dort ist die Steigung extremal, im Sachzusammenhang liegt die Wendestelle beim Zeitpunkt der stärksten Zu- oder Abnahme. Der Abschnitt räumt aus, dass f″(x₀) = 0 schon genügt (x⁴), dass die Wendestelle der höchste Punkt sei und dass man den y-Wert aus f′ oder f″ nimmt. Er bereitet die vollständige Untersuchung und Wachstumsmodelle vor.
Wendepunkt und Wendestelle
An einer Wendestelle wechselt der Graph seine Krümmung: von Rechts- zu Linkskurve oder umgekehrt. Der zugehörige Punkt heißt
Aus
Größte Änderungsrate
An einer Wendestelle ist die Steigung extremal: f′ hat dort ein Maximum oder Minimum, denn
Bei t = 3 wächst die Pflanze mit
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Bei welcher Funktion hat der Graph im Ursprung einen Wendepunkt?
Für f(x) = x⁴ ist f″(x) = 12x². Trotz f″(0) = 0 hat der Graph im Ursprung keinen Wendepunkt.
Abgebildet ist der Graph von f″. Was liegt bei x = 1 vor?
Abgebildet ist der Graph von f″ mit f″(x) = x(x − 2)². Bei x = 0 hat f eine Wendestelle.
Für f(x) = x³ − 3x² + 4 liegt die einzige Wendestelle bei x = 1. Wie lautet der Wendepunkt?
Abgebildet ist der Graph von f(x) = x³ + 3x². Die einzige Wendestelle liegt bei x = −1. Wie lautet der Wendepunkt?
Die Wassermenge in einem Becken wird beschrieben durch V(t) = −t³ + 12t² (V in Litern, t in Minuten, 0 ≤ t ≤ 12). Abgebildet ist der Graph von V. Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge am stärksten zu?
Abgebildet ist der Graph von N′, der Wachstumsrate eines Bakterienbestands N (t in Stunden). Der Graph von N hat bei t = 5 eine Wendestelle.
Abgebildet ist der Graph von f. An welcher Stelle ist die Steigung von f am größten?
Für f(x) = x³ − 9x² + 5x ist f″(x) = 6x − 18. Löse f″(x) = 0.
Für f(x) = x⁵ − 5x⁴ ist f″(x) = 20x²(x − 3). An wie vielen Stellen wechselt f″ das Vorzeichen?
Die Wendestelle von f(x) = x³ − 6x² + 4 liegt bei x = 2. Berechne den y-Wert des Wendepunkts.
Die Zahl der Downloads einer App wird beschrieben durch D(t) = −t³ + 18t² (t in Tagen, 0 ≤ t ≤ 12), es gilt D″(t) = −6t + 36. Zu welchem Zeitpunkt t nimmt die Zahl der Downloads am stärksten zu?
f(x) = x³ − 6x² + 9x. Löse f''(x) = 0. Wo liegt die Wendestelle?
f(x) = x³ − 9x² + 24x. Löse f''(x) = 0. Wo liegt die Wendestelle?
f(x) = x³ − 6x² + 9x hat bei x = 2 einen Wendepunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?
f(x) = x³ − 9x² + 24x hat bei x = 3 einen Wendepunkt. Wie groß ist seine y-Koordinate?
Für f(x) = x⁵ − 5x⁴ ist f″(x) = 20x³ − 60x² = 20x²(x − 3). Wie viele Kandidaten für Wendestellen gibt es?
Es gilt f″(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 4). Bestimme die Anzahl der Wendestellen von f.
Bestimme die y-Koordinate des Wendepunkts von f(x) = −x³ + 6x² − 2.
Die Füllhöhe eines Tanks ist H(t) = −t³ + 6t² (H in dm, t in Stunden, 0 ≤ t ≤ 4), es gilt H′(t) = −3t² + 12t und H″(t) = −6t + 12. Wie groß ist die größte Zunahme der Füllhöhe (in dm pro Stunde)?
Bestimme alle Wendepunkte von f(x) = x⁴ − 4x³. Löse f″(x) = 0, begründe mit dem Vorzeichen von f″ links und rechts jeder Kandidatenstelle, dass es Wendestellen sind, und berechne die y-Werte. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.