Abstand Punkt–Ebene
Welche Gerade ist das Lot von P(0 | 1 | 5) auf E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?
Erklärung: Das Lot geht durch P und hat den Normalenvektor n = (2; 1; 2) als Richtung. In der zweiten Gleichung sind Stützvektor und Richtung vertauscht (P und n), die dritte hat mit (1; −2; 0) eine Richtung, die in der Ebene liegt (n·u = 0), also kein Lot.
Das Lot von P(4 | 3 | 2) auf E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 trifft E bei λ = −1 (X = P + λ·n). Welcher Punkt ist der Lotfußpunkt?
Erklärung: Man setzt λ = −1 in X = (4; 3; 2) + λ·(2; 1; 2) ein: (4 − 2; 3 − 1; 2 − 2) = (2; 2; 0). Probe in E: 4 + 2 + 0 = 6. (6 | 4 | 4) entsteht mit λ = +1 (Vorzeichenfehler), (3 | 2,5 | 1) mit λ = −0,5.
Das Lot X = (4; 3; 2) + λ·(2; 1; 2) wird in E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 eingesetzt. Für welches λ gilt die Gleichung?
Erklärung: 2(4 + 2λ) + (3 + λ) + 2(2 + 2λ) = 15 + 9λ = 6, also λ = −1.
Der Lotfußpunkt von P(5 | 2 | 6) auf E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 ist F(1 | 0 | 2). Wie groß ist der Abstand von P zu E?
Erklärung: PF = (5 − 1; 2 − 0; 6 − 2) = (4; 2; 4), |PF| = √(16 + 4 + 16) = 6. Der Abstand ist die Länge des Lots.
Wie weit ist P(1 | 4 | 2) von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 entfernt (in Längeneinheiten)?
Erklärung: n·P − d = 2 + 4 + 4 − 6 = 4 und |n| = 3, also d = 4/3. Bei „4“ wurde nicht durch |n| geteilt, bei „12“ mit |n| multipliziert statt dividiert.
Welchen Abstand hat der Ursprung von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?
Erklärung: n·O − d = 0 − 6 = −6, der Betrag ist 6, geteilt durch |n| = 3 ergibt 2. Ein Abstand ist nie negativ (Betrag im Zähler); 2/3 entsteht, wenn man durch |n|² = 9 statt durch |n| teilt.
Berechne den Abstand von P(3 | 1 | 2) zur Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3.
Erklärung: |3 + 2 + 4 − 3| / √(1 + 4 + 4) = 6/3 = 2.
Eine Drohne schwebt im Punkt D(6 | 2 | 4) über dem Glasdach E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 (1 Längeneinheit = 1 m). Welchen Abstand hat sie zur Dachfläche (auf 0,1 m genau)?
Erklärung: |12 + 2 + 8 − 6| / 3 = 16/3 ≈ 5,3 m.
Welche Gleichung ist die Hessesche Normalform von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?
Erklärung: Man bringt alles auf eine Seite und teilt die ganze Gleichung durch |n| = 3: (2x₁ + x₂ + 2x₃ − 6)/3 = 0. Bei „/9“ wurde durch |n|² geteilt, bei der dritten Gleichung nur die x-Terme, aber nicht die 6.
Die Punkte P(2 | 4 | 4) und Q(0 | 0 | 0) liegen auf derselben Seite der Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6.
Erklärung: P liefert (4 + 4 + 8 − 6)/3 = 10/3 > 0, Q liefert (0 − 6)/3 = −2 < 0. Verschiedene Vorzeichen bedeuten verschiedene Seiten von E; der Betrag gibt jeweils den Abstand.
Setze den Ursprung in die linke Seite der Hesseschen Normalform von E: 3x₁ + 4x₂ = 15 ein. Welcher Wert (mit Vorzeichen) ergibt sich?
Erklärung: Hessesche Normalform: (3x₁ + 4x₂ − 15)/5 = 0. Für O: (0 − 15)/5 = −3. Der Ursprung hat den Abstand 3 und liegt auf der Seite, auf der die Werte negativ sind.
P(a | 0 | 0) liegt auf der vom Ursprung abgewandten Seite von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 im Abstand 4. Bestimme a.
Erklärung: Der Ursprung gibt −2 (negative Seite), die abgewandte Seite ist positiv: (2a − 6)/3 = +4 gibt 2a = 18, also a = 9. (Auf der Ursprungsseite wäre (2a − 6)/3 = −4, also a = −3.)
Welchen Abstand haben die parallelen Ebenen E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und E′: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 12?
Erklärung: Ein Punkt von E′, etwa (0 | 0 | 6), hat von E den Abstand |12 − 6|/3 = 2. Bei „6“ wurde nur die Differenz der rechten Seiten genommen, ohne durch |n| zu teilen; 2/3 teilt durch |n|² = 9.
Die Gerade g: X = (2; 2; 3) + λ·(1; −2; 0) ist parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Ihre Punkte (2 | 2 | 3) und (3 | 0 | 3) haben denselben Abstand zu E.
Erklärung: Beide Punkte liefern n·P = 12: |12 − 6|/3 = 2. Wegen n·u = 2 − 2 + 0 = 0 ändert sich der Wert n·X entlang g nicht, also ist der Abstand überall 2.
Wie groß ist der Abstand der parallelen Ebenen E₁: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3 und E₂: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 9?
Erklärung: Gleiche Normalenvektoren: d = |9 − 3| / |n| = 6/3 = 2.
Ein Kabel g: X = (4; 2; 4) + λ·(1; −2; 0) verläuft parallel über dem Glasdach E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Welchen Abstand hat es zur Dachfläche?
Erklärung: Wegen n·u = 2 − 2 = 0 ist g parallel zu E. Der Abstand ist der des Aufpunkts: |8 + 2 + 8 − 6| / 3 = 12/3 = 4.
Gegeben sind E: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 3 und der Punkt P(3 | −2 | 2). Berechne den Abstand von P zu E mit der Formel von Hesse und bestimme dann den Lotfußpunkt F als Schnitt des Lots durch P mit E. Prüfe, dass |PF| dem Abstand entspricht.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Hesse: |n·P − d|/|n|; Lotfußpunkt: Lot X = P + λ·n in E einsetzen, λ lösen.