Abstand Punkt–Ebene

Distance point to plane

Mathematik Klasse 13 17 Aufgaben

GeometrieEbenenAnalytische GeometrieAbstandHesse-Normalform

Der Abstand eines Punktes P von einer Ebene ist die Länge des Lots, der kürzesten Strecke von P zur Ebene. Man erhält ihn über den Lotfußpunkt (das Lot X = P + λ·n mit E schneiden) oder direkt aus d(P, E) = |n·P − d| / |n|. Der Abschnitt zeigt die Hessesche Normalform (n·X − d)/|n| = 0, deren Wert für P den Abstand mit Vorzeichen liefert, und dass parallele Objekte überall denselben Abstand haben. Räumt aus, den Betrag oder die Division durch |n| zu vergessen, |n|² statt |n| zu nehmen oder die Aufpunkte als Abstand zu lesen. Bereitet die Abstände bei Geraden und Kugel und Ebene vor.

Das Lot

Die Drohne schwebt bei P(3 | 3 | 3) über dem Glasdach E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Ihr Abstand zu E ist die Länge des Lots, der kürzesten Strecke von P zur Ebene. Das Lot steht senkrecht auf E und hat deshalb den Normalenvektor n = (2; 1; 2) als Richtung: X = (3; 3; 3) + λ·(2; 1; 2). Schneidet man es wie eine Gerade mit E, folgt 15 + 9λ = 6, also λ = −1 und der Lotfußpunkt F(1 | 2 | 1). Der Abstand ist d = |PF| = |−1| · |n| = 3.

Führe X auf dem Lot durch die Ebene. Was geschieht bei F mit den Chips?

Die Formel

Der Weg über das Lot lässt sich abkürzen. Für E: n·X = d gilt n·(P + λn) = d, also λ = (d − n·P)/|n|². Der Abstand ist |λ|·|n|, das heißt $d (P, E) = \frac{∣ n \cdot P - d ∣}{∣ n ∣} = \frac{∣15 - 6∣}{3} = 3$ Teilt man die ganze Gleichung durch |n|, entsteht die Hessesche Normalform (2x₁ + x₂ + 2x₃ − 6)/3 = 0. Setzt man P ein, kommt +3 heraus, für den Ursprung −2: Der Ursprung ist 2 entfernt, liegt aber auf der anderen Seite. Das Vorzeichen verrät die Seite, der Betrag den Abstand.

Parallele Objekte

Bei parallelen Ebenen, oder einer Geraden parallel zur Ebene, ist der Abstand überall gleich: Ein Punkt des einen Objekts genügt. Wegen (0 | 0 | 6) ∈ E′ hat E′: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 12 von E den Abstand |12 − 6|/3 = 2.

Zwei parallele Ebenen E und E′ haben überall denselben Abstand.

Voraussetzungen (1)

Gerade und Ebene

Klasse 13

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Ermöglicht (2)

Abstand windschiefer Geraden

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Gerade ist das Lot von P(0 | 1 | 5) auf E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?

● X = (0; 1; 5) + λ·(2; 1; 2)
○ X = (2; 1; 2) + λ·(0; 1; 5)
○ X = (0; 1; 5) + λ·(1; −2; 0)

Das Lot geht durch P und hat den Normalenvektor n = (2; 1; 2) als Richtung. In der zweiten Gleichung sind Stützvektor und Richtung vertauscht (P und n), die dritte hat mit (1; −2; 0) eine Richtung, die in der Ebene liegt (n·u = 0), also kein Lot.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Das Lot von P(4 | 3 | 2) auf E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 trifft E bei λ = −1 (X = P + λ·n). Welcher Punkt ist der Lotfußpunkt?

● F(2 | 2 | 0)
○ F(6 | 4 | 4)
○ F(3 | 2,5 | 1)

Man setzt λ = −1 in X = (4; 3; 2) + λ·(2; 1; 2) ein: (4 − 2; 3 − 1; 2 − 2) = (2; 2; 0). Probe in E: 4 + 2 + 0 = 6. (6 | 4 | 4) entsteht mit λ = +1 (Vorzeichenfehler), (3 | 2,5 | 1) mit λ = −0,5.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Wie weit ist P(1 | 4 | 2) von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 entfernt (in Längeneinheiten)?

● 4/3
○ 4
○ 12

n·P − d = 2 + 4 + 4 − 6 = 4 und |n| = 3, also d = 4/3. Bei „4“ wurde nicht durch |n| geteilt, bei „12“ mit |n| multipliziert statt dividiert.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welchen Abstand hat der Ursprung von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?

● 2
○ −2
○ 2/3

n·O − d = 0 − 6 = −6, der Betrag ist 6, geteilt durch |n| = 3 ergibt 2. Ein Abstand ist nie negativ (Betrag im Zähler); 2/3 entsteht, wenn man durch |n|² = 9 statt durch |n| teilt.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welche Gleichung ist die Hessesche Normalform von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?

● (2x₁ + x₂ + 2x₃ − 6)/3 = 0
○ (2x₁ + x₂ + 2x₃ − 6)/9 = 0
○ (2x₁ + x₂ + 2x₃)/3 − 6 = 0

Man bringt alles auf eine Seite und teilt die ganze Gleichung durch |n| = 3: (2x₁ + x₂ + 2x₃ − 6)/3 = 0. Bei „/9“ wurde durch |n|² geteilt, bei der dritten Gleichung nur die x-Terme, aber nicht die 6.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Punkte P(2 | 4 | 4) und Q(0 | 0 | 0) liegen auf derselben Seite der Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6.

✓ Falsch

P liefert (4 + 4 + 8 − 6)/3 = 10/3 > 0, Q liefert (0 − 6)/3 = −2 < 0. Verschiedene Vorzeichen bedeuten verschiedene Seiten von E; der Betrag gibt jeweils den Abstand.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welchen Abstand haben die parallelen Ebenen E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und E′: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 12?

● 2
○ 6
○ 2/3

Ein Punkt von E′, etwa (0 | 0 | 6), hat von E den Abstand |12 − 6|/3 = 2. Bei „6“ wurde nur die Differenz der rechten Seiten genommen, ohne durch |n| zu teilen; 2/3 teilt durch |n|² = 9.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Gerade g: X = (2; 2; 3) + λ·(1; −2; 0) ist parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Ihre Punkte (2 | 2 | 3) und (3 | 0 | 3) haben denselben Abstand zu E.

✓ Wahr

Beide Punkte liefern n·P = 12: |12 − 6|/3 = 2. Wegen n·u = 2 − 2 + 0 = 0 ändert sich der Wert n·X entlang g nicht, also ist der Abstand überall 2.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Das Lot X = (4; 3; 2) + λ·(2; 1; 2) wird in E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 eingesetzt. Für welches λ gilt die Gleichung?

✓ Antwort: -1

2(4 + 2λ) + (3 + λ) + 2(2 + 2λ) = 15 + 9λ = 6, also λ = −1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne den Abstand von P(3 | 1 | 2) zur Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3.

✓ Antwort: 2

|3 + 2 + 4 − 3| / √(1 + 4 + 4) = 6/3 = 2.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Setze den Ursprung in die linke Seite der Hesseschen Normalform von E: 3x₁ + 4x₂ = 15 ein. Welcher Wert (mit Vorzeichen) ergibt sich?

✓ Antwort: -3

Hessesche Normalform: (3x₁ + 4x₂ − 15)/5 = 0. Für O: (0 − 15)/5 = −3. Der Ursprung hat den Abstand 3 und liegt auf der Seite, auf der die Werte negativ sind.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Wie groß ist der Abstand der parallelen Ebenen E₁: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3 und E₂: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 9?

✓ Antwort: 2

Gleiche Normalenvektoren: d = |9 − 3| / |n| = 6/3 = 2.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Lotfußpunkt von P(5 | 2 | 6) auf E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 ist F(1 | 0 | 2). Wie groß ist der Abstand von P zu E?

✓ Antwort: 6

PF = (5 − 1; 2 − 0; 6 − 2) = (4; 2; 4), |PF| = √(16 + 4 + 16) = 6. Der Abstand ist die Länge des Lots.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Eine Drohne schwebt im Punkt D(6 | 2 | 4) über dem Glasdach E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 (1 Längeneinheit = 1 m). Welchen Abstand hat sie zur Dachfläche (auf 0,1 m genau)?

✓ Antwort: 5.3

|12 + 2 + 8 − 6| / 3 = 16/3 ≈ 5,3 m.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

P(a | 0 | 0) liegt auf der vom Ursprung abgewandten Seite von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 im Abstand 4. Bestimme a.

✓ Antwort: 9

Der Ursprung gibt −2 (negative Seite), die abgewandte Seite ist positiv: (2a − 6)/3 = +4 gibt 2a = 18, also a = 9. (Auf der Ursprungsseite wäre (2a − 6)/3 = −4, also a = −3.)

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Ein Kabel g: X = (4; 2; 4) + λ·(1; −2; 0) verläuft parallel über dem Glasdach E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Welchen Abstand hat es zur Dachfläche?

✓ Antwort: 4

Wegen n·u = 2 − 2 = 0 ist g parallel zu E. Der Abstand ist der des Aufpunkts: |8 + 2 + 8 − 6| / 3 = 12/3 = 4.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Gegeben sind E: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 3 und der Punkt P(3 | −2 | 2). Berechne den Abstand von P zu E mit der Formel von Hesse und bestimme dann den Lotfußpunkt F als Schnitt des Lots durch P mit E. Prüfe, dass |PF| dem Abstand entspricht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: n = (2; −2; 1), |n| = 3. Abstand: d = |2·3 − 2·(−2) + 2 − 3| / 3 = |6 + 4 + 2 − 3|/3 = 9/3 = 3. Lot: X = (3; −2; 2) + λ·(2; −2; 1). Einsetzen in E: 2(3 + 2λ) − 2(−2 − 2λ) + (2 + λ) = 12 + 9λ = 3, also λ = −1 und F(1 | 0 | 1). Probe: |PF| = |(−2; 2; −1)| = 3, und F erfüllt E: 2 − 0 + 1 = 3.

Hesse: |n·P − d|/|n|; Lotfußpunkt: Lot X = P + λ·n in E einsetzen, λ lösen.