Abstand windschiefer Geraden
Welcher Vektor steht senkrecht auf u = (1; 0; 0) und auf v = (1; 3; 4)?
Erklärung: Das Vektorprodukt u × v = (0·4 − 0·3; 0·1 − 1·4; 1·3 − 0·1) = (0; −4; 3) ist ein Vielfaches von (0; 4; −3). Probe: (0; 4; −3)·(1; 3; 4) = 12 − 12 = 0. (2; 3; 4) = u + v hat mit v das Skalarprodukt 2 + 9 + 16 = 27 ≠ 0, und (0; 3; 4) = v − u steht zwar senkrecht auf u, wegen 0 + 9 + 16 = 25 ≠ 0 aber nicht auf v.
n = (2; −2; 1) steht senkrecht auf u = (1; 2; 2) und auf v = (2; 1; −2).
Erklärung: n·u = 2 − 4 + 2 = 0 und n·v = 4 − 2 − 2 = 0. n ist also die Richtung der gemeinsamen Senkrechten der Geraden mit diesen Richtungsvektoren.
Berechne die dritte Komponente des Vektorprodukts u × v für u = (1; 0; 0) und v = (1; 3; 4).
Erklärung: Die dritte Komponente ist u₁v₂ − u₂v₁ = 1·3 − 0·1 = 3.
Für u = (1; 2; 2) und v = (2; 1; −2) gilt u × v = k·(2; −2; 1). Bestimme k.
Erklärung: u × v = (2·(−2) − 2·1; 2·2 − 1·(−2); 1·1 − 2·2) = (−6; 6; −3) = −3·(2; −2; 1), also k = −3. Die Länge der Richtung ist für den Abstand nicht wichtig, wenn man durch |n| teilt.
Welche Ebene enthält g: X = λ·(1; 2; 2) und ist parallel zu h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2)?
Erklärung: Die Hilfsebene geht durch den Aufpunkt O von g und hat den Normalenvektor n = u × v ∥ (2; −2; 1): rechte Seite n·O = 0. Mit „= 9“ ginge sie durch B(1 | −1 | 5) von h und enthielte g nicht. Die dritte Ebene hat den Richtungsvektor u als Normalenvektor und steht deshalb senkrecht auf g.
Der Punkt B(1 | −1 | 5) von h liegt in der Hilfsebene H: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 0.
Erklärung: Einsetzen: 2 + 2 + 5 = 9 ≠ 0. Die Hilfsebene ist parallel zu h, enthält h aber nicht; genau deshalb ist der Wert 9 (geteilt durch |n| = 3 also 3) der Abstand von h zu H.
Eine Hilfsebene hat den Normalenvektor n = (2; −2; 1) und geht durch A(3 | 1 | 2). Bestimme d in H: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = d.
Erklärung: d = n·A = 2·3 − 2·1 + 1·2 = 6.
H enthält g: X = (1; 1; 2) + λ·(1; 0; 0) und ist parallel zu h mit dem Richtungsvektor (1; 3; 4). Mit n = (0; −4; 3) hat H die Form −4x₂ + 3x₃ = d. Bestimme d.
Erklärung: H geht durch den Aufpunkt A(1 | 1 | 2) von g: d = n·A = −4·1 + 3·2 = 2. Der Aufpunkt von h wäre der falsche Punkt.
Die Geraden g: X = λ·(1; 2; 2) und h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2) sind windschief mit n = (2; −2; 1) und |n| = 3. Wie groß ist ihr Abstand?
Erklärung: d = |n·(B − A)| / |n| = |2 + 2 + 5| / 3 = 3. „5,2“ ist |AB| = √27 (Abstand der Aufpunkte), „9“ ist der Zähler n·(B − A) ohne die Division durch |n|.
Die Geraden h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2) und h′: X = (3; 0; 3) + μ·(2; 1; −2) haben denselben Abstand zu g: X = λ·(1; 2; 2).
Erklärung: Der Punkt (3 | 0 | 3) liegt auf h (μ = 1), also sind h und h′ dieselbe Gerade. Auch jeder andere Aufpunkt von h liefert |n·(B − A)|/|n| = 3.
Berechne |n·(B − A)| / |n| für n = (0; 4; −3) und B − A = (2; 4; 2).
Erklärung: n·(B − A) = 0 + 16 − 6 = 10 und |n| = 5, also 10/5 = 2.
Zwei Kabel sind g: X = λ·(1; 0; 0) und h: X = (2; 4; 2) + μ·(1; 3; 4) (1 Längeneinheit = 1 m). Wie groß ist ihr Abstand in m?
Erklärung: u × v = (0; −4; 3) mit |n| = 5. B − A = (2; 4; 2): n·(B − A) = −16 + 6 = −10. Also d = |−10|/5 = 2 m.
Zwei Drohnen fliegen auf g: X = (1; 1; 0) + λ·(1; 0; 0) und h: X = (0; 1; 5) + μ·(1; 3; 4). Zeige, dass die Bahnen windschief sind, und berechne ihren Abstand mit einer Hilfsebene.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Windschief prüfen (nicht parallel, Widerspruch), n = u × v, Hilfsebene durch A, Abstand von B.