Abstand windschiefer Geraden

Distance of skew lines

Mathematik Klasse 13 13 Aufgaben
GeometrieGeradenEbenenAnalytische GeometrieAbstandWindschiefe Geraden

Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist die Länge ihrer kürzesten Verbindung, der gemeinsamen Senkrechten, deren Richtung das Vektorprodukt n = u × v der beiden Richtungsvektoren ist. Der Abschnitt legt durch g die Hilfsebene H mit den Spannvektoren u und v, die parallel zu h ist, und führt den Abstand auf den Abstand eines Punktes von h zu H zurück: d = |n·(B − A)| / |n|. Räumt aus, den Abstand der Aufpunkte zu nehmen, n als Summe u + v zu bilden oder die Hilfsebene durch B statt durch A zu legen. Bereitet Sachprobleme mit Kanten und Flugbahnen vor.

Die gemeinsame Senkrechte

Zwei Drohnenbahnen g: X = λ·(1; 2; 2) und h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2) sind windschief: nicht parallel und ohne Schnittpunkt. Ihr Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindung. Sie steht senkrecht auf beiden Geraden, hat also die Richtung des Vektorprodukts der Richtungsvektoren u = (1; 2; 2) und v = (2; 1; −2): . Gekürzt genügt der Normalenvektor n = (2; −2; 1) mit |n| = 3.

Verschiebe X auf g und Y auf h. Wie klein kannst du |XY| machen?

Hilfsebene und Abstand

Durch g legt man die Hilfsebene H, die parallel zu h ist: Sie hat die Spannvektoren u und v, also den Normalenvektor n, und geht durch den Aufpunkt A(0 | 0 | 0): H: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 0. Weil h parallel zu H ist, hat jeder Punkt von h denselben Abstand zu H. Mit B(1 | −1 | 5) und der Abstandsformel Punkt–Ebene folgt . Der Abstand der Aufpunkte, |AB| = √27 ≈ 5,2, ist zu groß.

Dreidimensionales Koordinatensystem (x₁ zum Betrachter, x₂ nach rechts, x₃ nach oben): A(0|0|0), B(1|−1|5), Pfeil (1|2|2)→(1,8|1,2|2,4), Gerade durch (0|0|0) und (1|2|2), Gerade durch (1|−1|5) und (3|0|3), Ebene H x₁ 1 2 3 x₂ −1 1 2 3 4 x₃ −2 −1 1 2 3 4 5 6 g h n H A B
Die Hilfsebene H enthält g und ist parallel zu h; n steht senkrecht auf H.

Voraussetzungen (1)

Abstand Punkt–Ebene
Klasse 13
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Vektor steht senkrecht auf u = (1; 0; 0) und auf v = (1; 3; 4)?

  • ● n = (0; 4; −3)
  • ○ n = (2; 3; 4)
  • ○ n = (0; 3; 4)
Das Vektorprodukt u × v = (0·4 − 0·3; 0·1 − 1·4; 1·3 − 0·1) = (0; −4; 3) ist ein Vielfaches von (0; 4; −3). Probe: (0; 4; −3)·(1; 3; 4) = 12 − 12 = 0. (2; 3; 4) = u + v hat mit v das Skalarprodukt 2 + 9 + 16 = 27 ≠ 0, und (0; 3; 4) = v − u steht zwar senkrecht auf u, wegen 0 + 9 + 16 = 25 ≠ 0 aber nicht auf v.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

n = (2; −2; 1) steht senkrecht auf u = (1; 2; 2) und auf v = (2; 1; −2).

✓ Wahr
n·u = 2 − 4 + 2 = 0 und n·v = 4 − 2 − 2 = 0. n ist also die Richtung der gemeinsamen Senkrechten der Geraden mit diesen Richtungsvektoren.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Ebene enthält g: X = λ·(1; 2; 2) und ist parallel zu h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2)?

  • ● 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 0
  • ○ 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 9
  • ○ x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 0
Die Hilfsebene geht durch den Aufpunkt O von g und hat den Normalenvektor n = u × v ∥ (2; −2; 1): rechte Seite n·O = 0. Mit „= 9“ ginge sie durch B(1 | −1 | 5) von h und enthielte g nicht. Die dritte Ebene hat den Richtungsvektor u als Normalenvektor und steht deshalb senkrecht auf g.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Punkt B(1 | −1 | 5) von h liegt in der Hilfsebene H: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 0.

✓ Falsch
Einsetzen: 2 + 2 + 5 = 9 ≠ 0. Die Hilfsebene ist parallel zu h, enthält h aber nicht; genau deshalb ist der Wert 9 (geteilt durch |n| = 3 also 3) der Abstand von h zu H.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die Geraden g: X = λ·(1; 2; 2) und h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2) sind windschief mit n = (2; −2; 1) und |n| = 3. Wie groß ist ihr Abstand?

  • ● 3
  • ○ 5,2
  • ○ 9
d = |n·(B − A)| / |n| = |2 + 2 + 5| / 3 = 3. „5,2“ ist |AB| = √27 (Abstand der Aufpunkte), „9“ ist der Zähler n·(B − A) ohne die Division durch |n|.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Geraden h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2) und h′: X = (3; 0; 3) + μ·(2; 1; −2) haben denselben Abstand zu g: X = λ·(1; 2; 2).

✓ Wahr
Der Punkt (3 | 0 | 3) liegt auf h (μ = 1), also sind h und h′ dieselbe Gerade. Auch jeder andere Aufpunkt von h liefert |n·(B − A)|/|n| = 3.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne die dritte Komponente des Vektorprodukts u × v für u = (1; 0; 0) und v = (1; 3; 4).

✓ Antwort: 3
Die dritte Komponente ist u₁v₂ − u₂v₁ = 1·3 − 0·1 = 3.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Eine Hilfsebene hat den Normalenvektor n = (2; −2; 1) und geht durch A(3 | 1 | 2). Bestimme d in H: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = d.

✓ Antwort: 6
d = n·A = 2·3 − 2·1 + 1·2 = 6.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne |n·(B − A)| / |n| für n = (0; 4; −3) und B − A = (2; 4; 2).

✓ Antwort: 2
n·(B − A) = 0 + 16 − 6 = 10 und |n| = 5, also 10/5 = 2.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Für u = (1; 2; 2) und v = (2; 1; −2) gilt u × v = k·(2; −2; 1). Bestimme k.

✓ Antwort: -3
u × v = (2·(−2) − 2·1; 2·2 − 1·(−2); 1·1 − 2·2) = (−6; 6; −3) = −3·(2; −2; 1), also k = −3. Die Länge der Richtung ist für den Abstand nicht wichtig, wenn man durch |n| teilt.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

H enthält g: X = (1; 1; 2) + λ·(1; 0; 0) und ist parallel zu h mit dem Richtungsvektor (1; 3; 4). Mit n = (0; −4; 3) hat H die Form −4x₂ + 3x₃ = d. Bestimme d.

✓ Antwort: 2
H geht durch den Aufpunkt A(1 | 1 | 2) von g: d = n·A = −4·1 + 3·2 = 2. Der Aufpunkt von h wäre der falsche Punkt.
Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Zwei Kabel sind g: X = λ·(1; 0; 0) und h: X = (2; 4; 2) + μ·(1; 3; 4) (1 Längeneinheit = 1 m). Wie groß ist ihr Abstand in m?

✓ Antwort: 2
u × v = (0; −4; 3) mit |n| = 5. B − A = (2; 4; 2): n·(B − A) = −16 + 6 = −10. Also d = |−10|/5 = 2 m.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zwei Drohnen fliegen auf g: X = (1; 1; 0) + λ·(1; 0; 0) und h: X = (0; 1; 5) + μ·(1; 3; 4). Zeige, dass die Bahnen windschief sind, und berechne ihren Abstand mit einer Hilfsebene. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Nicht parallel: (1; 3; 4) ist kein Vielfaches von (1; 0; 0). Gleichsetzen: 1 + λ = μ, 1 = 1 + 3μ, 0 = 5 + 4μ. Die zweite Zeile gibt μ = 0, die dritte μ = −1,25: Widerspruch, also windschief. n = u × v = (0; −4; 3) mit |n| = 5. Hilfsebene durch A(1 | 1 | 0): −4x₂ + 3x₃ = −4. B(0 | 1 | 5) einsetzen: −4 + 15 = 11, Differenz zur rechten Seite 11 − (−4) = 15. d = 15/5 = 3.
Windschief prüfen (nicht parallel, Widerspruch), n = u × v, Hilfsebene durch A, Abstand von B.