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Gerade und Ebene

16 Aufgaben · interaktiv

Setze g: X = (1; 0; 2) + λ·(1; 2; −1) in E: x₁ + x₂ + 2x₃ = 8 ein. Welche Gleichung für λ entsteht?

Erklärung: x₁ = 1 + λ, x₂ = 2λ, x₃ = 2 − λ ergibt (1 + λ) + 2λ + 2(2 − λ) = 5 + λ. Bei „3 + λ“ fehlt der Faktor 2 vor x₃ beim Aufpunkt (1 + 0 + 2), bei „5 + 2λ“ ist das Skalarprodukt n·u = 1 + 2 − 2 = 1 mit der bloßen Summe 1 + 2 − 1 = 2 der Richtungskoordinaten verwechselt.

Für g: X = (1; 0; 2) + λ·(1; 2; −1) und E: x₁ + x₂ + 2x₃ = 8 folgt λ = 3. Welchen Durchstoßpunkt hat g mit E?

Erklärung: Man setzt λ = 3 in g ein: (1 + 3; 0 + 6; 2 − 3) = (4; 6; −1). Probe in E: 4 + 6 − 2 = 8. (3 | 6 | −3) ist nur 3·u ohne den Aufpunkt, (1 | 0 | 2) ist der Aufpunkt selbst (λ = 0).

Setzt man g: X = (0; 0; 1) + λ·(1; 1; 1) in E: x₁ + x₂ + x₃ = 4 ein, so erhält man 1 + 3λ = 4. Der Durchstoßpunkt ist S(1 | 1 | 2).

Erklärung: λ + λ + (1 + λ) = 1 + 3λ = 4 gibt λ = 1 und S = (1; 1; 2). Probe: 1 + 1 + 2 = 4.

Für welches λ trifft g: X = (2; −1; 0) + λ·(1; 2; 3) die Ebene E: 3x₁ − x₂ + x₃ = 11?

Erklärung: 3(2 + λ) − (−1 + 2λ) + 3λ = 7 + 4λ = 11, also λ = 1 (Durchstoßpunkt (3 | 1 | 3)).

Ein Laserstrahl g: X = (2; 1; 9) + λ·(1; 0; −2) trifft die Glasscheibe E: x₁ + x₂ + x₃ = 10. Welche x₃-Koordinate hat der Auftreffpunkt?

Erklärung: (2 + λ) + 1 + (9 − 2λ) = 12 − λ = 10 gibt λ = 2. Dann ist S = (4 | 1 | 5), also x₃ = 9 − 2·2 = 5.

Welche Gerade (gegeben ist nur der Richtungsvektor u) verläuft parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 oder liegt in E?

Erklärung: Nur bei n·u = 0 fällt λ beim Einsetzen weg. Mit n = (2; 1; 2) ist n·(1; −2; 0) = 2 − 2 = 0, dagegen n·(1; 1; 1) = 5 und n·(2; 1; 2) = 9. Der Vektor (2; 1; 2) ist n selbst: Diese Gerade steht senkrecht auf E und trifft sie genau einmal.

Die Gerade g mit Richtungsvektor u = (4; −2; 4) steht senkrecht auf der Ebene E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5.

Erklärung: Der Normalenvektor ist n = (2; −1; 2), und u = (4; −2; 4) = 2·n ist ein Vielfaches davon. Eine Gerade, deren Richtungsvektor ein Vielfaches von n ist, steht senkrecht auf E.

Für n = (2; 1; 2) und u = (1; −2; 0) ist n·u = 0. Deshalb steht die Gerade mit dem Richtungsvektor u senkrecht auf der Ebene mit dem Normalenvektor n.

Erklärung: n·u = 2 − 2 + 0 = 0 heißt, dass u senkrecht auf n steht, also in der Ebenenrichtung liegt: Die Gerade ist parallel zur Ebene (oder liegt in ihr). Senkrecht auf der Ebene stünde sie, wenn u ein Vielfaches von n wäre.

Berechne n·u für n = (1; 2; 2) und u = (3; 2; 1).

Erklärung: n·u = 1·3 + 2·2 + 2·1 = 3 + 4 + 2 = 9. Wegen 9 ≠ 0 trifft die Gerade die Ebene in genau einem Punkt.

Für welchen Wert von a ist g: X = (0; 0; 1) + λ·(a; 2; 1) parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 (oder in E enthalten)?

Erklärung: Parallel oder enthalten heißt n·u = 0: 2·a + 1·2 + 2·1 = 2a + 4 = 0, also a = −2.

Beim Einsetzen von g in E fällt λ weg und es bleibt 8 = 6. Was folgt?

Erklärung: 8 = 6 ist falsch für jedes λ: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt, aber wegen des weggefallenen λ ist n·u = 0, also ist g echt parallel. Wäre die Aussage wahr (6 = 6), läge g in E; einen einzelnen Punkt liefert nur eine Gleichung mit λ.

Die Gerade g: X = (1; 1; 1) + λ·(1; −2; 0) liegt in E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6.

Erklärung: Es ist n·u = 2 − 2 + 0 = 0, aber A(1 | 1 | 1) erfüllt die Ebenengleichung nicht: 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 6. Also ist g echt parallel zu E. Erst der Aufpunkt entscheidet.

Im Bild scheint g: X = (0; 0; 4) + λ·(1; −2; 0) die Fläche E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 zu kreuzen. Tatsächlich haben g und E einen gemeinsamen Punkt.

Erklärung: Es ist n·u = 2 − 2 = 0 und n·A = 8 ≠ 6: g ist echt parallel zu E. Das Schrägbild lässt die Gerade vor der Fläche vorbeilaufen, doch räumlich bleibt sie überall im gleichen Abstand über E.

Setze den Aufpunkt A(3 | 0 | 2) in die linke Seite von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 ein. Welchen Wert erhältst du?

Erklärung: n·A = 2·3 + 0 + 2·2 = 10. Wegen 10 ≠ 6 läge g (mit n·u = 0) echt parallel zu E.

Die Gerade g: X = (c; 2; 1) + λ·(0; 2; −1) hat n·u = 0 bezüglich E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Für welches c liegt g ganz in E?

Erklärung: Es genügt, den Aufpunkt einzusetzen: 2c + 2 + 2·1 = 2c + 4 = 6, also c = 1. Für jedes andere c wäre g echt parallel zu E.

Gegeben sind E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3 sowie g: X = (3; −1; 2) + λ·(1; 2; −2) und h: X = (1; 0; 0) + μ·(1; 2; 0). Untersuche für g und für h die Lage zu E. Berechne, wo sich Schnittpunkte ergeben, und begründe, wenn es keinen gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: Erst n·u prüfen; bei n·u ≠ 0 einsetzen und λ lösen, bei n·u = 0 den Aufpunkt einsetzen.

Aufgabe 1 von 16