Gerade und Ebene

Line and plane

Mathematik Klasse 13 16 Aufgaben
GeometrieGeradenEbenenAnalytische GeometrieSchnittmenge

Eine Gerade g: X = A + λ·u und eine Ebene E in Koordinatenform treffen sich, wo die Koordinaten von g die Ebenengleichung erfüllen: Man setzt ein und erhält eine Gleichung für λ. Der Abschnitt zeigt, dass der Faktor vor λ gleich n·u ist und damit entscheidet: n·u ≠ 0 ergibt genau einen Durchstoßpunkt, n·u = 0 heißt parallel oder enthalten, und der Aufpunkt klärt, welcher Fall vorliegt. Räumt aus, n·u = 0 mit „senkrecht“ zu verwechseln, λ mit dem Punkt gleichzusetzen oder im Schrägbild einen Schnitt zu „sehen“. Bereitet die Lotfußpunkte der Abstandsstationen und die Lage von Kugel und Gerade vor.

Einsetzen und lösen

Die Drohne fliegt auf g: X = (2; 3; 3) + λ·(−1; −1; −2). Das Glasdach ist die Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Ein gemeinsamer Punkt muss beide Gleichungen erfüllen. Deshalb setzt man die Koordinaten von g, also x₁ = 2 − λ, x₂ = 3 − λ und x₃ = 3 − 2λ, in die Ebenengleichung ein:

Es bleibt eine Gleichung für λ. Das Ergebnis ist noch kein Punkt: Erst λ = 1 in g eingesetzt liefert den Durchstoßpunkt S(1 | 2 | 1).

Verändere λ. Bei welchem λ ist der Wert 2x₁ + x₂ + 2x₃ gleich dem Wert d der Ebene?

Wenn es keinen Punkt gibt

Nicht jede Gerade durchstößt die Ebene. Beim Einsetzen gilt : Vor λ steht das Skalarprodukt aus Normalenvektor n und Richtungsvektor u. Ist es nicht null, gibt es genau einen Durchstoßpunkt. Ist n·u = 0, fällt λ weg: Für g: X = (1; 2; 2) + λ·(1; −2; 0) bleibt 8 = 6. Diese falsche Aussage heißt: echt parallel. Bliebe 6 = 6, läge g in E. Bei n·u = 0 entscheidet also der Aufpunkt. Ist u ein Vielfaches von n, steht g senkrecht auf E.

Verschiebe den Aufpunkt A nach oben und unten. Bei welcher Höhe liegt g in der Ebene?

Ermöglicht (2)

Abstand Punkt–Ebene
Klasse 13
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Abstand Punkt–Gerade
Klasse 13
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Setze g: X = (1; 0; 2) + λ·(1; 2; −1) in E: x₁ + x₂ + 2x₃ = 8 ein. Welche Gleichung für λ entsteht?

  • ● 5 + λ = 8
  • ○ 3 + λ = 8
  • ○ 5 + 2λ = 8
x₁ = 1 + λ, x₂ = 2λ, x₃ = 2 − λ ergibt (1 + λ) + 2λ + 2(2 − λ) = 5 + λ. Bei „3 + λ“ fehlt der Faktor 2 vor x₃ beim Aufpunkt (1 + 0 + 2), bei „5 + 2λ“ ist das Skalarprodukt n·u = 1 + 2 − 2 = 1 mit der bloßen Summe 1 + 2 − 1 = 2 der Richtungskoordinaten verwechselt.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Für g: X = (1; 0; 2) + λ·(1; 2; −1) und E: x₁ + x₂ + 2x₃ = 8 folgt λ = 3. Welchen Durchstoßpunkt hat g mit E?

  • ● S(4 | 6 | −1)
  • ○ S(3 | 6 | −3)
  • ○ S(1 | 0 | 2)
Man setzt λ = 3 in g ein: (1 + 3; 0 + 6; 2 − 3) = (4; 6; −1). Probe in E: 4 + 6 − 2 = 8. (3 | 6 | −3) ist nur 3·u ohne den Aufpunkt, (1 | 0 | 2) ist der Aufpunkt selbst (λ = 0).
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Setzt man g: X = (0; 0; 1) + λ·(1; 1; 1) in E: x₁ + x₂ + x₃ = 4 ein, so erhält man 1 + 3λ = 4. Der Durchstoßpunkt ist S(1 | 1 | 2).

✓ Wahr
λ + λ + (1 + λ) = 1 + 3λ = 4 gibt λ = 1 und S = (1; 1; 2). Probe: 1 + 1 + 2 = 4.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Gerade (gegeben ist nur der Richtungsvektor u) verläuft parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 oder liegt in E?

  • ● u = (1; −2; 0)
  • ○ u = (1; 1; 1)
  • ○ u = (2; 1; 2)
Nur bei n·u = 0 fällt λ beim Einsetzen weg. Mit n = (2; 1; 2) ist n·(1; −2; 0) = 2 − 2 = 0, dagegen n·(1; 1; 1) = 5 und n·(2; 1; 2) = 9. Der Vektor (2; 1; 2) ist n selbst: Diese Gerade steht senkrecht auf E und trifft sie genau einmal.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Gerade g mit Richtungsvektor u = (4; −2; 4) steht senkrecht auf der Ebene E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5.

✓ Wahr
Der Normalenvektor ist n = (2; −1; 2), und u = (4; −2; 4) = 2·n ist ein Vielfaches davon. Eine Gerade, deren Richtungsvektor ein Vielfaches von n ist, steht senkrecht auf E.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für n = (2; 1; 2) und u = (1; −2; 0) ist n·u = 0. Deshalb steht die Gerade mit dem Richtungsvektor u senkrecht auf der Ebene mit dem Normalenvektor n.

✓ Falsch
n·u = 2 − 2 + 0 = 0 heißt, dass u senkrecht auf n steht, also in der Ebenenrichtung liegt: Die Gerade ist parallel zur Ebene (oder liegt in ihr). Senkrecht auf der Ebene stünde sie, wenn u ein Vielfaches von n wäre.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Beim Einsetzen von g in E fällt λ weg und es bleibt 8 = 6. Was folgt?

  • ● g ist echt parallel zu E
  • ○ g liegt in E
  • ○ g trifft E in genau einem Punkt
8 = 6 ist falsch für jedes λ: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt, aber wegen des weggefallenen λ ist n·u = 0, also ist g echt parallel. Wäre die Aussage wahr (6 = 6), läge g in E; einen einzelnen Punkt liefert nur eine Gleichung mit λ.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Gerade g: X = (1; 1; 1) + λ·(1; −2; 0) liegt in E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6.

✓ Falsch
Es ist n·u = 2 − 2 + 0 = 0, aber A(1 | 1 | 1) erfüllt die Ebenengleichung nicht: 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 6. Also ist g echt parallel zu E. Erst der Aufpunkt entscheidet.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Im Bild scheint g: X = (0; 0; 4) + λ·(1; −2; 0) die Fläche E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 zu kreuzen. Tatsächlich haben g und E einen gemeinsamen Punkt.

✓ Falsch
Es ist n·u = 2 − 2 = 0 und n·A = 8 ≠ 6: g ist echt parallel zu E. Das Schrägbild lässt die Gerade vor der Fläche vorbeilaufen, doch räumlich bleibt sie überall im gleichen Abstand über E.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für welches λ trifft g: X = (2; −1; 0) + λ·(1; 2; 3) die Ebene E: 3x₁ − x₂ + x₃ = 11?

✓ Antwort: 1
3(2 + λ) − (−1 + 2λ) + 3λ = 7 + 4λ = 11, also λ = 1 (Durchstoßpunkt (3 | 1 | 3)).
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne n·u für n = (1; 2; 2) und u = (3; 2; 1).

✓ Antwort: 9
n·u = 1·3 + 2·2 + 2·1 = 3 + 4 + 2 = 9. Wegen 9 ≠ 0 trifft die Gerade die Ebene in genau einem Punkt.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Setze den Aufpunkt A(3 | 0 | 2) in die linke Seite von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 ein. Welchen Wert erhältst du?

✓ Antwort: 10
n·A = 2·3 + 0 + 2·2 = 10. Wegen 10 ≠ 6 läge g (mit n·u = 0) echt parallel zu E.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Ein Laserstrahl g: X = (2; 1; 9) + λ·(1; 0; −2) trifft die Glasscheibe E: x₁ + x₂ + x₃ = 10. Welche x₃-Koordinate hat der Auftreffpunkt?

✓ Antwort: 5
(2 + λ) + 1 + (9 − 2λ) = 12 − λ = 10 gibt λ = 2. Dann ist S = (4 | 1 | 5), also x₃ = 9 − 2·2 = 5.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für welchen Wert von a ist g: X = (0; 0; 1) + λ·(a; 2; 1) parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 (oder in E enthalten)?

✓ Antwort: -2
Parallel oder enthalten heißt n·u = 0: 2·a + 1·2 + 2·1 = 2a + 4 = 0, also a = −2.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Gerade g: X = (c; 2; 1) + λ·(0; 2; −1) hat n·u = 0 bezüglich E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Für welches c liegt g ganz in E?

✓ Antwort: 1
Es genügt, den Aufpunkt einzusetzen: 2c + 2 + 2·1 = 2c + 4 = 6, also c = 1. Für jedes andere c wäre g echt parallel zu E.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben sind E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3 sowie g: X = (3; −1; 2) + λ·(1; 2; −2) und h: X = (1; 0; 0) + μ·(1; 2; 0). Untersuche für g und für h die Lage zu E. Berechne, wo sich Schnittpunkte ergeben, und begründe, wenn es keinen gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: g: n = (2; −1; 2), n·u = 2 − 2 − 4 = −4 ≠ 0, also genau ein Durchstoßpunkt. Einsetzen: 2(3 + λ) − (−1 + 2λ) + 2(2 − 2λ) = 11 − 4λ = 3, also λ = 2 und S(5 | 3 | −2). Probe: 10 − 3 − 4 = 3. h: n·u = 2 − 2 + 0 = 0, also parallel oder enthalten. Aufpunkt (1 | 0 | 0): 2·1 − 0 + 0 = 2 ≠ 3, also ist h echt parallel zu E und hat keinen Schnittpunkt.
Erst n·u prüfen; bei n·u ≠ 0 einsetzen und λ lösen, bei n·u = 0 den Aufpunkt einsetzen.