Kugeln im Raum
Welche Gleichung beschreibt die Kugel mit dem Mittelpunkt M(1 | −2 | 3) und dem Radius 4?
Erklärung: Die Klammern enthalten x_i − m_i, also (x₂ − (−2)) = (x₂ + 2), und rechts steht r² = 16. Bei der zweiten Gleichung sind alle Vorzeichen des Mittelpunkts verdreht, bei der dritten steht r statt r².
Welcher Punkt liegt auf der Kugel K: (x₁ − 3)² + (x₂ − 3)² + (x₃ − 3)² = 25?
Erklärung: Q: 3² + 4² + 0² = 25 stimmt. R: 3² + 3² + 3² = 27 > 25 liegt außerhalb der Kugel, S: 0 + 0 + 4² = 16 < 25 liegt im Inneren.
Die Kugel K: (x₁ − 4)² + (x₂ + 2)² + (x₃ − 1)² = 36 hat den Mittelpunkt M. Welche x₂-Koordinate hat M?
Erklärung: (x₂ + 2)² = (x₂ − (−2))², also m₂ = −2. Der Radius ist √36 = 6.
Eine Kugel hat den Mittelpunkt M(1 | 2 | 2) und geht durch P(4 | 6 | 2). Bestimme ihren Radius.
Erklärung: r = |MP| = |(3; 4; 0)| = √(9 + 16 + 0) = 5. Die Gleichung lautet (x₁ − 1)² + (x₂ − 2)² + (x₃ − 2)² = 25.
Welchen Mittelpunkt hat die Kugel x₁² + x₂² + x₃² − 4x₁ + 2x₂ − 6x₃ − 2 = 0?
Erklärung: Quadratisch ergänzt: (x₁ − 2)² + (x₂ + 1)² + (x₃ − 3)² = 16. Man halbiert die Koeffizienten von x_i und kehrt das Vorzeichen um. M(4 | −2 | 6) hat nicht halbiert, M(−2 | 1 | −3) die Vorzeichen nicht umgekehrt.
Welchen Radius hat die Kugel x₁² + x₂² + x₃² − 4x₁ + 2x₂ − 6x₃ − 2 = 0?
Erklärung: Ergänzt man, steht rechts r² = 2 + 4 + 1 + 9 = 16, also r = 4. Die 16 ist r², nicht r; „√2“ liest die −2 der Gleichung als r² und vergisst die Ergänzungen.
Ergänze x₁² − 6x₁ zu einem Quadrat: x₁² − 6x₁ + ___ = (x₁ − 3)². Welche Zahl fehlt?
Erklärung: Man halbiert den Koeffizienten von x₁ und quadriert: (−6/2)² = 9.
Bestimme den Radius der Kugel x₁² + x₂² + x₃² − 2x₁ + 4x₂ − 4x₃ − 16 = 0.
Erklärung: Ergänzen: (x₁ − 1)² + (x₂ + 2)² + (x₃ − 2)² = 16 + 1 + 4 + 4 = 25. Also M(1 | −2 | 2) und r = 5.
Die Kugel um M(3 | 3 | 3) hat den Radius 2, die Ebene ist E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Wie liegen sie zueinander?
Erklärung: d(M, E) = |6 + 3 + 6 − 6|/3 = 3 > 2 = r: Die Ebene bleibt außerhalb der Kugel. Bei d = r gäbe es genau einen Punkt (Berührung), bei d < r einen Kreis.
Die Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 hat vom Kugelmittelpunkt M(3 | 3 | 3) den Abstand 3, und die Kugel hat den Radius 5. Welchen Radius hat der Schnittkreis?
Erklärung: ρ = √(r² − d²) = √(25 − 9) = 4. „2“ wäre r − d, „√34“ wäre √(r² + d²): Pythagoras wird hier rückwärts gebraucht (r ist die Hypotenuse).
Die Kugel um M(3 | 3 | 3) mit Radius 3 berührt die Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6.
Erklärung: d(M, E) = 3 = r: Die Ebene hat genau einen Punkt mit der Kugel gemeinsam, den Lotfußpunkt F(1 | 2 | 1). E ist dann Tangentialebene.
Der Abstand des Mittelpunkts zur Ebene ist 5, der Kugelradius 13. Berechne den Radius ρ des Schnittkreises.
Erklärung: ρ = √(r² − d²) = √(169 − 25) = √144 = 12.
Für welchen Radius r berührt die Kugel um M(1 | 1 | 1) die Ebene E: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = −5?
Erklärung: d(M, E) = |2 − 2 + 1 + 5|/3 = 6/3 = 2. Berührung heißt r = d, also r = 2.
Eine Gerade hat vom Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 5 den Abstand 6. Wie liegen Gerade und Kugel zueinander?
Erklärung: Der Abstand 6 ist größer als der Radius 5: Die Gerade verfehlt die Kugel. Für d = 5 wäre sie Tangente, für d < 5 Sekante.
Die Dachkante s: X = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1) berührt die Kugel um M(3 | 3 | 3) mit Radius 4.
Erklärung: Der Abstand von M zu s ist |MF| = 3 (Lotfußpunkt F(1 | 2 | 1)). Wegen d = 3 < 4 = r ist s eine Sekante mit zwei Schnittpunkten; berühren würde s die Kugel erst bei r = 3.
Eine Gerade hat vom Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 13 den Abstand 5. Wie lang ist die Sehne, die die Kugel aus der Geraden schneidet?
Erklärung: Die halbe Sehne ist ρ = √(r² − d²) = √(169 − 25) = 12, die Sehne also 2·12 = 24.
Die Kugel um M(3 | 3 | 3) hat den Radius 5. Die Gerade g: X = (1; 0; 3) + λ·(0; 1; 0) schneidet sie. Wie lang ist die Sehne (auf 0,1 genau)?
Erklärung: Der Lotfußpunkt von M auf g ist (1 | 3 | 3) (Hilfsebene x₂ = 3), also d = |(2; 0; 0)| = 2. Die Sehne ist 2·√(25 − 4) = 2·√21 ≈ 9,2.
Eine Drohne im Punkt M(3 | 3 | 3) hat eine kugelförmige Sicherheitszone mit dem Radius 5 (1 Längeneinheit = 1 m). Das Glasdach ist E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Stelle die Gleichung der Kugel auf, zeige, dass das Dach die Zone in einem Kreis schneidet, und bestimme Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Kugelgleichung mit r²; d(M, E) mit Hesse; ρ = √(r² − d²); Mittelpunkt über das Lot.