Kugeln im Raum
Spheres in space
Eine Kugel besteht aus allen Punkten mit dem Abstand r vom Mittelpunkt M; quadriert ergibt das (x₁ − m₁)² + (x₂ − m₂)² + (x₃ − m₃)² = r². Der Abschnitt zeigt, wie man die Gleichung aufstellt, aus der ausmultiplizierten Form durch quadratische Ergänzung M und r abliest und die Lage zu Ebene oder Gerade am Abstand d des Mittelpunkts entscheidet: d > r nichts, d = r Berührung, d < r Schnittkreis mit ρ = √(r² − d²) bzw. zwei Schnittpunkte. Räumt aus, r statt r² zu schreiben, die Vorzeichen des Mittelpunkts zu verdrehen oder r − d für den Schnittkreisradius zu halten. Bereitet Sachprobleme mit Berührung vor.
Die Kugelgleichung
Die
Kugel und Ebene
Die Lage entscheidet der Abstand d des Mittelpunkts. Für
Kugel und Gerade
Bei einer
Voraussetzungen (2)
Ermöglicht (1)
Welche Gleichung beschreibt die Kugel mit dem Mittelpunkt M(1 | −2 | 3) und dem Radius 4?
Welcher Punkt liegt auf der Kugel K: (x₁ − 3)² + (x₂ − 3)² + (x₃ − 3)² = 25?
Welchen Mittelpunkt hat die Kugel x₁² + x₂² + x₃² − 4x₁ + 2x₂ − 6x₃ − 2 = 0?
Welchen Radius hat die Kugel x₁² + x₂² + x₃² − 4x₁ + 2x₂ − 6x₃ − 2 = 0?
Die Kugel um M(3 | 3 | 3) hat den Radius 2, die Ebene ist E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Wie liegen sie zueinander?
Die Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 hat vom Kugelmittelpunkt M(3 | 3 | 3) den Abstand 3, und die Kugel hat den Radius 5. Welchen Radius hat der Schnittkreis?
Die Kugel um M(3 | 3 | 3) mit Radius 3 berührt die Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6.
Eine Gerade hat vom Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 5 den Abstand 6. Wie liegen Gerade und Kugel zueinander?
Die Dachkante s: X = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1) berührt die Kugel um M(3 | 3 | 3) mit Radius 4.
Die Kugel K: (x₁ − 4)² + (x₂ + 2)² + (x₃ − 1)² = 36 hat den Mittelpunkt M. Welche x₂-Koordinate hat M?
Ergänze x₁² − 6x₁ zu einem Quadrat: x₁² − 6x₁ + ___ = (x₁ − 3)². Welche Zahl fehlt?
Der Abstand des Mittelpunkts zur Ebene ist 5, der Kugelradius 13. Berechne den Radius ρ des Schnittkreises.
Eine Gerade hat vom Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 13 den Abstand 5. Wie lang ist die Sehne, die die Kugel aus der Geraden schneidet?
Eine Kugel hat den Mittelpunkt M(1 | 2 | 2) und geht durch P(4 | 6 | 2). Bestimme ihren Radius.
Bestimme den Radius der Kugel x₁² + x₂² + x₃² − 2x₁ + 4x₂ − 4x₃ − 16 = 0.
Für welchen Radius r berührt die Kugel um M(1 | 1 | 1) die Ebene E: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = −5?
Die Kugel um M(3 | 3 | 3) hat den Radius 5. Die Gerade g: X = (1; 0; 3) + λ·(0; 1; 0) schneidet sie. Wie lang ist die Sehne (auf 0,1 genau)?
Eine Drohne im Punkt M(3 | 3 | 3) hat eine kugelförmige Sicherheitszone mit dem Radius 5 (1 Längeneinheit = 1 m). Das Glasdach ist E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Stelle die Gleichung der Kugel auf, zeige, dass das Dach die Zone in einem Kreis schneidet, und bestimme Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.