Zwei Ebenen und ihre Schnittgerade
Welche Ebene ist echt parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?
Erklärung: Der Normalenvektor (4; 2; 4) = 2·(2; 1; 2) ist ein Vielfaches. Damit die Ebene echt parallel ist, muss die rechte Seite von 2·6 = 12 abweichen: 10. Mit 12 wäre die Ebene E selbst; bei (2; 1; −2) ist der Normalenvektor kein Vielfaches, die Ebenen schneiden sich.
Die Ebenen x₁ − 2x₂ + x₃ = 3 und −2x₁ + 4x₂ − 2x₃ = −6 sind identisch.
Erklärung: Multipliziert man die erste Gleichung mit −2, erhält man die zweite: (−2)·(1; −2; 1) = (−2; 4; −2) und (−2)·3 = −6. Beide beschreiben dieselbe Ebene.
Die beiden Ebenen im Bild haben keine parallelen Normalenvektoren. Sie schneiden sich daher in genau einem Punkt.
Erklärung: Zwei Ebenen mit nicht parallelen Normalenvektoren schneiden sich nicht in einem Punkt, sondern in einer ganzen Geraden. Ein einzelner Punkt entsteht nur bei einer Geraden und einer Ebene.
Für n = (1; −2; 3) und n′ = (−2; 4; −6) gilt n′ = k·n. Bestimme k.
Erklärung: Komponentenweise: −2 = k·1, 4 = k·(−2), −6 = k·3. Jede Zeile liefert k = −2, also sind die Normalenvektoren Vielfache.
Für welches a sind E₁: 2x₁ + a·x₂ + 4x₃ = 5 und E₂: x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 7 parallel?
Erklärung: Die Normalenvektoren (2; a; 4) und (1; 3; 2) müssen Vielfache sein: (2; a; 4) = 2·(1; 3; 2) gibt a = 6. Wegen 2·7 = 14 ≠ 5 sind die Ebenen echt parallel, nicht identisch.
Für E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und F: x₁ + x₂ + x₃ = 4: Welche Gleichung entsteht aus E − F?
Erklärung: Man subtrahiert Zeile für Zeile: (2 − 1)x₁ + (1 − 1)x₂ + (2 − 1)x₃ = 6 − 4. x₂ fällt weg. Bei „x₁ + 2x₃ = 2“ wurde der Koeffizient von x₃ nicht abgezogen, „3x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10“ ist die Summe E + F.
Welcher Punkt liegt auf der Schnittgeraden von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und F: x₁ + x₂ + x₃ = 4?
Erklärung: Ein Punkt der Schnittgeraden erfüllt beide Gleichungen. P: 2 + 2 + 2 = 6 und 1 + 2 + 1 = 4. Q liegt nur in F (1 + 1 + 2 = 4, aber 2 + 1 + 4 = 7 ≠ 6 für E), R nur in E (3 + 0 + 0 = 3 ≠ 4 für F).
Mit x₁ = t erhält man aus x₁ + x₃ = 2 und x₁ + x₂ + x₃ = 4 die Schnittgerade s: X = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1).
Erklärung: x₃ = 2 − t, und F gibt x₂ = 4 − t − (2 − t) = 2. Also X = (t; 2; 2 − t) = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1). Der Richtungsvektor hat wegen der Differenz der Gleichungen die x₂-Komponente 0.
Subtrahiert man G: x₁ − x₂ + x₃ = 0 von F: x₁ + x₂ + x₃ = 4, bleibt eine Gleichung nur mit x₂. Wie groß ist x₂ auf der Schnittgeraden von F und G?
Erklärung: F − G: (1 − 1)x₁ + (1 − (−1))x₂ + (1 − 1)x₃ = 4 − 0, also 2x₂ = 4 und x₂ = 2.
Die Dachflächen E₁: x₁ + x₂ + x₃ = 6 und E₂: x₁ + 2x₂ + x₃ = 8 schneiden sich in der Kante k. Welche x₃-Koordinate hat der Punkt von k mit x₁ = 3?
Erklärung: E₂ − E₁ gibt x₂ = 2. Dann liefert E₁ x₁ + x₃ = 4. Für x₁ = 3 ist x₃ = 1; der Kantenpunkt ist (3 | 2 | 1). Probe in E₂: 3 + 4 + 1 = 8.
E: X = (3; 0; 0) + λ·(−1; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1) wird in F: x₁ + x₂ + x₃ = 4 eingesetzt. Welche Gleichung entsteht?
Erklärung: x₁ = 3 − λ − μ, x₂ = 2λ, x₃ = μ ergeben (3 − λ − μ) + 2λ + μ = 3 + λ; μ hebt sich weg. Bei „3 + 3λ + 2μ“ wurden die Minuszeichen von x₁ ignoriert, bei „3 + λ − μ“ fehlt x₃.
Mit λ = 1 folgt aus 3 + λ = 4 die Schnittgerade s: X = (3; 0; 0) + μ·(−1; 0; 1).
Erklärung: Das gefundene λ = 1 muss in E eingesetzt werden: X = (3; 0; 0) + 1·(−1; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1) = (2; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1). Der Aufpunkt (3 | 0 | 0) von E liegt nicht in F (3 ≠ 4).
Setzt man x₁ = 2 + λ − μ, x₂ = λ, x₃ = μ in F: x₁ + 2x₂ − x₃ = 5 ein, entsteht 2 + k·λ − 2μ = 5. Bestimme k.
Erklärung: x₁ + 2x₂ − x₃ = (2 + λ − μ) + 2λ − μ = 2 + 3λ − 2μ. Der Koeffizient von λ ist 1 + 2 = 3.
E: X = (1; 0; 0) + λ·(0; 1; 0) + μ·(−1; 0; 1) und F: 2x₁ − x₂ + x₃ = 4. Für μ = 1 liegt der Punkt von E genau dann in F, wenn λ = ?
Erklärung: Für μ = 1 ist X = (0; λ; 1). Einsetzen in F: 0 − λ + 1 = 4, also λ = −3. Der Punkt (0 | −3 | 1) liegt auf der Schnittgeraden; allgemein gilt λ = −2 − μ.
Zwei Dachflächen sind E₁: x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und E₂: 2x₁ − x₂ + x₃ = 3. Untersuche ihre Lage, bestimme die Gleichung der Schnittgeraden und prüfe einen ihrer Punkte in beiden Gleichungen.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Normalenvektoren vergleichen, eine Variable eliminieren, die freie Variable als Parameter setzen und die Probe in beiden Ebenen.