Zwei Ebenen und ihre Schnittgerade

Two planes and their line of intersection

Mathematik Klasse 13 15 Aufgaben
GeometrieEbenenAnalytische GeometrieSchnittmenge

Zwei Ebenen sind parallel, identisch oder schneiden sich in einer Geraden. Die Normalenvektoren entscheiden: Sind sie keine Vielfachen, gibt es eine Schnittgerade. Der Abschnitt zeigt zwei Wege zu ihrer Gleichung: bei zwei Koordinatenformen eine Variable eliminieren und eine freie Variable als Parameter setzen, bei einer Ebene in Parameterform diese in die andere Koordinatenform einsetzen. Räumt aus, parallele Normalenvektoren schon für „identisch“ zu halten, zwei nicht parallele Ebenen in einem Punkt schneiden zu lassen oder die Schnittgerade nur in einer der beiden Ebenen zu prüfen. Bereitet den Schnittwinkel zweier Ebenen und Kanten im Sachproblem vor.

Parallel, identisch oder schneidend

Neben E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 hat das Glasdach eine zweite Fläche F: x₁ + x₂ + x₃ = 4. Sind n₁ = (2; 1; 2) und n₂ = (1; 1; 1) keine Vielfachen, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Ist n₂ ein Vielfaches von n₁, sind sie parallel oder identisch: Man gleicht die Normalenvektoren an und vergleicht die rechte Seite. 4x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 12 ist E selbst, 4x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 10 dagegen eine echt parallele Ebene.

Dreidimensionales Koordinatensystem (x₁ zum Betrachter, x₂ nach rechts, x₃ nach oben): Punkt(0|2|2), Punkt(2|2|0), Strecke (0|2|2)–(2|2|0), Ebene E, Ebene F x₁ 1 2 3 x₂ 1 2 3 4 5 6 x₃ 1 2 3 4 E F
Die beiden Dachflächen E und F treffen sich in der roten Kante s.

Zwei Gleichungen, eine Gerade

Auf der Schnittgeraden s gelten beide Gleichungen: zwei Gleichungen für drei Unbekannte. Eine Variable bleibt frei und wird zum Parameter. E − F lässt x₂ wegfallen: x₁ + x₃ = 2. Mit x₁ = t folgt x₃ = 2 − t, und F liefert x₂ = 2. Also . Ein Punkt von s muss E und F erfüllen; das ist die Probe.

Verschiebe X entlang s. Wie ändern sich die beiden Werte in den Chips?

Eine Ebene in Parameterform

Liegt E als X = (3; 0; 0) + λ·(−1; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1) vor, setzt man x₁ = 3 − λ − μ, x₂ = 2λ und x₃ = μ in F ein: 3 + λ = 4, also λ = 1. Dieses λ in E eingesetzt gibt s: X = (2; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1), wobei μ frei bleibt. Dieselbe Gerade wie oben, nur mit anderem Aufpunkt.

Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Ebene ist echt parallel zu E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6?

  • ● 4x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 10
  • ○ 4x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 12
  • ○ 2x₁ + x₂ − 2x₃ = 6
Der Normalenvektor (4; 2; 4) = 2·(2; 1; 2) ist ein Vielfaches. Damit die Ebene echt parallel ist, muss die rechte Seite von 2·6 = 12 abweichen: 10. Mit 12 wäre die Ebene E selbst; bei (2; 1; −2) ist der Normalenvektor kein Vielfaches, die Ebenen schneiden sich.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Ebenen x₁ − 2x₂ + x₃ = 3 und −2x₁ + 4x₂ − 2x₃ = −6 sind identisch.

✓ Wahr
Multipliziert man die erste Gleichung mit −2, erhält man die zweite: (−2)·(1; −2; 1) = (−2; 4; −2) und (−2)·3 = −6. Beide beschreiben dieselbe Ebene.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die beiden Ebenen im Bild haben keine parallelen Normalenvektoren. Sie schneiden sich daher in genau einem Punkt.

✓ Falsch
Zwei Ebenen mit nicht parallelen Normalenvektoren schneiden sich nicht in einem Punkt, sondern in einer ganzen Geraden. Ein einzelner Punkt entsteht nur bei einer Geraden und einer Ebene.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und F: x₁ + x₂ + x₃ = 4: Welche Gleichung entsteht aus E − F?

  • ● x₁ + x₃ = 2
  • ○ x₁ + 2x₃ = 2
  • ○ 3x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
Man subtrahiert Zeile für Zeile: (2 − 1)x₁ + (1 − 1)x₂ + (2 − 1)x₃ = 6 − 4. x₂ fällt weg. Bei „x₁ + 2x₃ = 2“ wurde der Koeffizient von x₃ nicht abgezogen, „3x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10“ ist die Summe E + F.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf der Schnittgeraden von E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und F: x₁ + x₂ + x₃ = 4?

  • ● P(1 | 2 | 1)
  • ○ Q(1 | 1 | 2)
  • ○ R(3 | 0 | 0)
Ein Punkt der Schnittgeraden erfüllt beide Gleichungen. P: 2 + 2 + 2 = 6 und 1 + 2 + 1 = 4. Q liegt nur in F (1 + 1 + 2 = 4, aber 2 + 1 + 4 = 7 ≠ 6 für E), R nur in E (3 + 0 + 0 = 3 ≠ 4 für F).
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Mit x₁ = t erhält man aus x₁ + x₃ = 2 und x₁ + x₂ + x₃ = 4 die Schnittgerade s: X = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1).

✓ Wahr
x₃ = 2 − t, und F gibt x₂ = 4 − t − (2 − t) = 2. Also X = (t; 2; 2 − t) = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1). Der Richtungsvektor hat wegen der Differenz der Gleichungen die x₂-Komponente 0.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

E: X = (3; 0; 0) + λ·(−1; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1) wird in F: x₁ + x₂ + x₃ = 4 eingesetzt. Welche Gleichung entsteht?

  • ● 3 + λ = 4
  • ○ 3 + 3λ + 2μ = 4
  • ○ 3 + λ − μ = 4
x₁ = 3 − λ − μ, x₂ = 2λ, x₃ = μ ergeben (3 − λ − μ) + 2λ + μ = 3 + λ; μ hebt sich weg. Bei „3 + 3λ + 2μ“ wurden die Minuszeichen von x₁ ignoriert, bei „3 + λ − μ“ fehlt x₃.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Mit λ = 1 folgt aus 3 + λ = 4 die Schnittgerade s: X = (3; 0; 0) + μ·(−1; 0; 1).

✓ Falsch
Das gefundene λ = 1 muss in E eingesetzt werden: X = (3; 0; 0) + 1·(−1; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1) = (2; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1). Der Aufpunkt (3 | 0 | 0) von E liegt nicht in F (3 ≠ 4).
Mittel
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Für n = (1; −2; 3) und n′ = (−2; 4; −6) gilt n′ = k·n. Bestimme k.

✓ Antwort: -2
Komponentenweise: −2 = k·1, 4 = k·(−2), −6 = k·3. Jede Zeile liefert k = −2, also sind die Normalenvektoren Vielfache.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Subtrahiert man G: x₁ − x₂ + x₃ = 0 von F: x₁ + x₂ + x₃ = 4, bleibt eine Gleichung nur mit x₂. Wie groß ist x₂ auf der Schnittgeraden von F und G?

✓ Antwort: 2
F − G: (1 − 1)x₁ + (1 − (−1))x₂ + (1 − 1)x₃ = 4 − 0, also 2x₂ = 4 und x₂ = 2.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Setzt man x₁ = 2 + λ − μ, x₂ = λ, x₃ = μ in F: x₁ + 2x₂ − x₃ = 5 ein, entsteht 2 + k·λ − 2μ = 5. Bestimme k.

✓ Antwort: 3
x₁ + 2x₂ − x₃ = (2 + λ − μ) + 2λ − μ = 2 + 3λ − 2μ. Der Koeffizient von λ ist 1 + 2 = 3.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Für welches a sind E₁: 2x₁ + a·x₂ + 4x₃ = 5 und E₂: x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 7 parallel?

✓ Antwort: 6
Die Normalenvektoren (2; a; 4) und (1; 3; 2) müssen Vielfache sein: (2; a; 4) = 2·(1; 3; 2) gibt a = 6. Wegen 2·7 = 14 ≠ 5 sind die Ebenen echt parallel, nicht identisch.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Die Dachflächen E₁: x₁ + x₂ + x₃ = 6 und E₂: x₁ + 2x₂ + x₃ = 8 schneiden sich in der Kante k. Welche x₃-Koordinate hat der Punkt von k mit x₁ = 3?

✓ Antwort: 1
E₂ − E₁ gibt x₂ = 2. Dann liefert E₁ x₁ + x₃ = 4. Für x₁ = 3 ist x₃ = 1; der Kantenpunkt ist (3 | 2 | 1). Probe in E₂: 3 + 4 + 1 = 8.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

E: X = (1; 0; 0) + λ·(0; 1; 0) + μ·(−1; 0; 1) und F: 2x₁ − x₂ + x₃ = 4. Für μ = 1 liegt der Punkt von E genau dann in F, wenn λ = ?

✓ Antwort: -3
Für μ = 1 ist X = (0; λ; 1). Einsetzen in F: 0 − λ + 1 = 4, also λ = −3. Der Punkt (0 | −3 | 1) liegt auf der Schnittgeraden; allgemein gilt λ = −2 − μ.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zwei Dachflächen sind E₁: x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 und E₂: 2x₁ − x₂ + x₃ = 3. Untersuche ihre Lage, bestimme die Gleichung der Schnittgeraden und prüfe einen ihrer Punkte in beiden Gleichungen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die Normalenvektoren (1; 1; 2) und (2; −1; 1) sind keine Vielfachen, also schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. E₁ + E₂ gibt 3x₁ + 3x₃ = 9, also x₁ = 3 − x₃. Mit x₃ = t folgt x₁ = 3 − t und aus E₁ x₂ = 6 − (3 − t) − 2t = 3 − t. Also s: X = (3; 3; 0) + t·(−1; −1; 1). Probe mit t = 1: (2 | 2 | 1): 2 + 2 + 2 = 6 und 4 − 2 + 1 = 3.
Normalenvektoren vergleichen, eine Variable eliminieren, die freie Variable als Parameter setzen und die Probe in beiden Ebenen.