Der Schnittwinkel
Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren u = (1; 1; 0) und v = (0; 1; 1). Welchen Wert hat cos φ für ihren Schnittwinkel φ?
Erklärung: u·v = 0 + 1 + 0 = 1 und |u|·|v| = √2·√2 = 2, also cos φ = 1/2 und φ = 60°. Der Wert 1 ist nur u·v, ohne durch die Längen zu teilen; 1/√2 teilt nur durch eine der beiden Längen.
Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren u = (1; 1; 0) und v = (0; −1; −1). Unter welchem Winkel schneiden sie sich?
Erklärung: u·v = −1 und |u|·|v| = 2 ergibt cos φ = −1/2, also 120° zwischen den Vektoren. Der Schnittwinkel der Geraden ist der spitze Winkel 180° − 120° = 60° (mit Betrag: cos φ = 1/2). 30° = 90° − 60° wäre der Komplementwinkel, wie er bei Gerade und Ebene vorkommt, aber nicht bei zwei Geraden.
Geraden mit den Richtungsvektoren u = (1; 0; 1) und v = (−1; 0; 0) schneiden sich unter 135°.
Erklärung: u·v = −1 und |u|·|v| = √2·1 ergeben cos φ = −1/√2 nur für die Vektoren (135°). Die Geraden bleiben dieselben, wenn man v umkehrt; ihr Schnittwinkel ist der spitze Winkel 45° (mit Betrag im Zähler).
Berechne |u·v| / (|u|·|v|) für u = (2; 1; 2) und v = (1; 2; 2) (auf drei Stellen genau).
Erklärung: u·v = 2 + 2 + 4 = 8, |u| = |v| = 3, also 8/9 ≈ 0,889 (φ ≈ 27,3°).
Zwei Drohnenbahnen mit den Richtungsvektoren u = (1; 2; 2) und v = (2; 3; 6) schneiden sich in einem Punkt. Unter welchem Winkel (in Grad, auf 0,1° genau)?
Erklärung: u·v = 2 + 6 + 12 = 20, |u| = 3, |v| = 7, also cos φ = 20/21 ≈ 0,952 und φ ≈ 17,8°. Der Rechner muss auf Grad (DEG) stehen.
Eine Gerade mit dem Richtungsvektor u = (1; 2; 2) trifft den Boden E: x₃ = 0. Welchen Winkel schließt sie mit dem Boden ein?
Erklärung: n = (0; 0; 1), n·u = 2, |n| = 1, |u| = 3: sin φ = 2/3, also φ ≈ 41,8°. 48,2° ist arccos(2/3), also der Winkel zwischen u und der Lotrechten n, nicht zum Boden; 12,8° = arcsin(2/9) entsteht, wenn man |u|² = 9 statt |u| = 3 verwendet.
Eine Gerade mit u = (2; −2; 1) und die Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5 schließen den Winkel 0° ein.
Erklärung: n = (1; 2; 2) gibt n·u = 2 − 4 + 2 = 0, also sin φ = 0 und φ = 0°: Die Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr.
Eine Gerade mit u = (3; 6; −6) steht senkrecht auf der Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5.
Erklärung: n = (1; 2; 2) gibt n·u = 3 + 12 − 12 = 3, also sin φ = 3/(3·9) = 1/9 und φ ≈ 6,4°. Senkrecht wäre u ein Vielfaches von n, etwa (3; 6; 6).
Berechne |n·u| / (|n|·|u|) für n = (1; 2; 2) und u = (0; 3; 4) (auf drei Stellen genau).
Erklärung: n·u = 0 + 6 + 8 = 14, |n| = 3, |u| = 5, also 14/15 ≈ 0,933. Das ist sin φ, also φ ≈ 69,0°.
Ein Seil verläuft in Richtung u = (2; 3; 6) über dem waagerechten Boden x₃ = 0. Welchen Winkel schließt es mit dem Boden ein (auf ganze Grad)?
Erklärung: n = (0; 0; 1): sin φ = 6/7 ≈ 0,857, also φ ≈ 59,0°. Merke: Steigungswinkel gegen die Waagerechte liefert der Sinus über die x₃-Komponente.
E₁: x₃ = 0 und E₂: 2x₁ − x₃ = 0 haben die Normalenvektoren n₁ = (0; 0; 1) und n₂ = (2; 0; −1). Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen?
Erklärung: n₁·n₂ = −1, |n₁| = 1, |n₂| = √5: cos φ = |−1|/√5 ≈ 0,447, also φ ≈ 63,4°. Ohne Betrag käme cos φ = −0,447 heraus, also 116,6°; 26,6° = 90° − 63,4° ist der Winkel der Ebene zur anderen Normalen.
Die Ebenen E₁: x₃ = 0 und E₂: x₁ + x₃ = 2 schneiden sich unter 45°.
Erklärung: n₁ = (0; 0; 1), n₂ = (1; 0; 1): cos φ = 1/(1·√2) = 1/√2, also φ = 45°.
Berechne |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|) für n₁ = (2; 1; 2) und n₂ = (2; 3; 6) (auf drei Stellen genau).
Erklärung: n₁·n₂ = 4 + 3 + 12 = 19, |n₁| = 3, |n₂| = 7, also 19/21 ≈ 0,905 (φ ≈ 25,2°).
Wie steil ist die Dachfläche E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 gegen den Boden x₃ = 0 geneigt? Gib den Neigungswinkel in Grad an (auf 0,1° genau).
Erklärung: n₁ = (2; 1; 2), n₂ = (0; 0; 1): cos φ = 2/(3·1) = 2/3, also φ ≈ 48,2°.
Eine Gerade g mit dem Richtungsvektor u = (2; 3; 6) trifft die Dachebene E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5 und die Wandebene W: x₁ = 0. Berechne den Winkel zwischen g und E sowie den Winkel zwischen E und W (auf 0,1° genau) und begründe die verwendeten Formeln.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Gerade/Ebene: Sinus mit n·u; Ebene/Ebene: Kosinus mit n₁·n₂, jeweils mit Betrag.