Der Schnittwinkel

The angle of intersection

Mathematik Klasse 13 15 Aufgaben
GeometrieGeradenEbenenAnalytische GeometrieWinkel

Der Schnittwinkel zweier Geraden folgt aus cos φ = |u·v| / (|u|·|v|), der zweier Ebenen aus den Normalenvektoren mit cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|), der einer Geraden mit einer Ebene aus sin φ = |n·u| / (|n|·|u|). Der Abschnitt zeigt, warum der Betrag im Zähler steht (Vektoren lassen sich umkehren, der Schnittwinkel ist höchstens 90°) und warum bei Gerade und Ebene der Sinus gilt: Der Winkel zur Normalen ergänzt den Winkel zur Ebene auf 90°. Räumt aus, den Betrag zu vergessen, den Kosinus statt des Sinus zu nehmen oder den Winkel zwischen Gerade und Normalenvektor für den Schnittwinkel zu halten. Bereitet Neigungswinkel im Sachproblem vor.

Zwei Geraden

Zwei Drohnenbahnen g und h mit u = (1; 1; 0) und v = (0; 1; 1) schneiden sich. Ihr Schnittwinkel φ ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:

Der Betrag im Zähler ist nötig: Kehrt man v zu (0; −1; −1) um, wird u·v = −1 und der Winkel zwischen den Vektoren 120°, doch die Geraden bleiben dieselben. Der Schnittwinkel ist der spitze der beiden Winkel, also höchstens 90°.

Drehe v. Wann ist cos φ negativ, und was bleibt dann für den Schnittwinkel?

Gerade und Ebene

Der Winkel zwischen g und E ist der Winkel zwischen g und ihrem Schatten in E. Der Winkel ψ zwischen u und dem Normalenvektor n ergänzt ihn zu 90°, und aus sin φ = cos ψ folgt . Für n = (2; 1; 2) und die Drohne u = (−1; −1; −2) ist n·u = −7, |n| = 3 und |u| = √6, also sin φ = 7/(3√6) ≈ 0,953 und φ ≈ 72,3°. Hier steht der Sinus.

Ändere φ. Was stellst du bei sin φ und cos ψ fest?

Zwei Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der Winkel ihrer Normalenvektoren: Von der Seite gesehen, quer zur Schnittgeraden, stehen die Normalen senkrecht auf den Ebenen und schließen denselben Winkel ein. Für E und F mit n₁ = (2; 1; 2) und n₂ = (1; 1; 1) ist , also φ ≈ 15,8°.

Ändere φ. Welche Winkel sind gleich groß?

Ermöglicht (1)

Sachprobleme modellieren
Klasse 13
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren u = (1; 1; 0) und v = (0; 1; 1). Welchen Wert hat cos φ für ihren Schnittwinkel φ?

  • ● 1/2
  • ○ 1
  • ○ 1/√2
u·v = 0 + 1 + 0 = 1 und |u|·|v| = √2·√2 = 2, also cos φ = 1/2 und φ = 60°. Der Wert 1 ist nur u·v, ohne durch die Längen zu teilen; 1/√2 teilt nur durch eine der beiden Längen.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren u = (1; 1; 0) und v = (0; −1; −1). Unter welchem Winkel schneiden sie sich?

  • ● 60°
  • ○ 120°
  • ○ 30°
u·v = −1 und |u|·|v| = 2 ergibt cos φ = −1/2, also 120° zwischen den Vektoren. Der Schnittwinkel der Geraden ist der spitze Winkel 180° − 120° = 60° (mit Betrag: cos φ = 1/2). 30° = 90° − 60° wäre der Komplementwinkel, wie er bei Gerade und Ebene vorkommt, aber nicht bei zwei Geraden.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Geraden mit den Richtungsvektoren u = (1; 0; 1) und v = (−1; 0; 0) schneiden sich unter 135°.

✓ Falsch
u·v = −1 und |u|·|v| = √2·1 ergeben cos φ = −1/√2 nur für die Vektoren (135°). Die Geraden bleiben dieselben, wenn man v umkehrt; ihr Schnittwinkel ist der spitze Winkel 45° (mit Betrag im Zähler).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Eine Gerade mit dem Richtungsvektor u = (1; 2; 2) trifft den Boden E: x₃ = 0. Welchen Winkel schließt sie mit dem Boden ein?

  • ● 41,8°
  • ○ 48,2°
  • ○ 12,8°
n = (0; 0; 1), n·u = 2, |n| = 1, |u| = 3: sin φ = 2/3, also φ ≈ 41,8°. 48,2° ist arccos(2/3), also der Winkel zwischen u und der Lotrechten n, nicht zum Boden; 12,8° = arcsin(2/9) entsteht, wenn man |u|² = 9 statt |u| = 3 verwendet.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Eine Gerade mit u = (2; −2; 1) und die Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5 schließen den Winkel 0° ein.

✓ Wahr
n = (1; 2; 2) gibt n·u = 2 − 4 + 2 = 0, also sin φ = 0 und φ = 0°: Die Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Eine Gerade mit u = (3; 6; −6) steht senkrecht auf der Ebene E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 5.

✓ Falsch
n = (1; 2; 2) gibt n·u = 3 + 12 − 12 = 3, also sin φ = 3/(3·9) = 1/9 und φ ≈ 6,4°. Senkrecht wäre u ein Vielfaches von n, etwa (3; 6; 6).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

E₁: x₃ = 0 und E₂: 2x₁ − x₃ = 0 haben die Normalenvektoren n₁ = (0; 0; 1) und n₂ = (2; 0; −1). Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen?

  • ● 63,4°
  • ○ 116,6°
  • ○ 26,6°
n₁·n₂ = −1, |n₁| = 1, |n₂| = √5: cos φ = |−1|/√5 ≈ 0,447, also φ ≈ 63,4°. Ohne Betrag käme cos φ = −0,447 heraus, also 116,6°; 26,6° = 90° − 63,4° ist der Winkel der Ebene zur anderen Normalen.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Ebenen E₁: x₃ = 0 und E₂: x₁ + x₃ = 2 schneiden sich unter 45°.

✓ Wahr
n₁ = (0; 0; 1), n₂ = (1; 0; 1): cos φ = 1/(1·√2) = 1/√2, also φ = 45°.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne |u·v| / (|u|·|v|) für u = (2; 1; 2) und v = (1; 2; 2) (auf drei Stellen genau).

✓ Antwort: 0.889
u·v = 2 + 2 + 4 = 8, |u| = |v| = 3, also 8/9 ≈ 0,889 (φ ≈ 27,3°).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne |n·u| / (|n|·|u|) für n = (1; 2; 2) und u = (0; 3; 4) (auf drei Stellen genau).

✓ Antwort: 0.933
n·u = 0 + 6 + 8 = 14, |n| = 3, |u| = 5, also 14/15 ≈ 0,933. Das ist sin φ, also φ ≈ 69,0°.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|) für n₁ = (2; 1; 2) und n₂ = (2; 3; 6) (auf drei Stellen genau).

✓ Antwort: 0.905
n₁·n₂ = 4 + 3 + 12 = 19, |n₁| = 3, |n₂| = 7, also 19/21 ≈ 0,905 (φ ≈ 25,2°).
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Zwei Drohnenbahnen mit den Richtungsvektoren u = (1; 2; 2) und v = (2; 3; 6) schneiden sich in einem Punkt. Unter welchem Winkel (in Grad, auf 0,1° genau)?

✓ Antwort: 17.8
u·v = 2 + 6 + 12 = 20, |u| = 3, |v| = 7, also cos φ = 20/21 ≈ 0,952 und φ ≈ 17,8°. Der Rechner muss auf Grad (DEG) stehen.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Ein Seil verläuft in Richtung u = (2; 3; 6) über dem waagerechten Boden x₃ = 0. Welchen Winkel schließt es mit dem Boden ein (auf ganze Grad)?

✓ Antwort: 59
n = (0; 0; 1): sin φ = 6/7 ≈ 0,857, also φ ≈ 59,0°. Merke: Steigungswinkel gegen die Waagerechte liefert der Sinus über die x₃-Komponente.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Wie steil ist die Dachfläche E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 gegen den Boden x₃ = 0 geneigt? Gib den Neigungswinkel in Grad an (auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 48.2
n₁ = (2; 1; 2), n₂ = (0; 0; 1): cos φ = 2/(3·1) = 2/3, also φ ≈ 48,2°.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Gerade g mit dem Richtungsvektor u = (2; 3; 6) trifft die Dachebene E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5 und die Wandebene W: x₁ = 0. Berechne den Winkel zwischen g und E sowie den Winkel zwischen E und W (auf 0,1° genau) und begründe die verwendeten Formeln. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: n_E = (2; −1; 2), |n_E| = 3, |u| = 7. n_E·u = 4 − 3 + 12 = 13. Gerade und Ebene: sin φ = |13|/(3·7) = 13/21 ≈ 0,619, also φ ≈ 38,2°. Ebene und Ebene: n_W = (1; 0; 0), n_E·n_W = 2, |n_W| = 1: cos φ = 2/3, also φ ≈ 48,2°.
Gerade/Ebene: Sinus mit n·u; Ebene/Ebene: Kosinus mit n₁·n₂, jeweils mit Betrag.