Gesetz der großen Zahlen
Zwei Serien mit einer fairen Münze: Serie A hat 10 Würfe, Serie B hat 1000 Würfe. Bei welcher Serie liegt die relative Häufigkeit von Kopf eher nahe bei 0,5 (zwischen 0,45 und 0,55)?
Erklärung: Je länger die Serie, desto weniger schwankt h. Bei 10 Würfen ist auch 3 : 7 nicht selten; bei 1000 Würfen liegt h fast immer sehr nahe an 0,5.
Fällt eine Münze in 10 Würfen 8-mal auf Kopf, ist sie sicher nicht fair.
Erklärung: Kurze Serien schwanken stark. 8 von 10 kommt bei einer fairen Münze durchaus vor; erst eine lange Serie sagt etwas über die Münze.
Das Diagramm zeigt die relative Häufigkeit der Sechs bei wachsender Zahl der Würfe. Bei welchem Wert scheint sie sich einzupendeln?
Erklärung: Die Werte sinken von 0,30 (10 Würfe) auf 0,17 (1000 Würfe) und schwanken dort kaum noch. 0,30 ist nur der unruhige Anfangswert.
Eine faire Münze wird sehr oft geworfen. Auf welchen Wert pendelt sich die relative Häufigkeit von Kopf ein?
Erklärung: Bei einer fairen Münze sind Kopf und Zahl gleich häufig zu erwarten: h(Kopf) nähert sich 0,5.
Serie A: 20 Würfe, 13-mal Kopf. Serie B: 2000 Würfe, 1030-mal Kopf. Um wie viele Prozentpunkte weicht die relative Häufigkeit von Kopf in Serie B von 50 % ab?
Erklärung: Serie B: 1030/2000 = 0,515 = 51,5 %, also 1,5 Prozentpunkte über 50 %. Serie A hätte 13/20 = 65 %, weit mehr Abweichung.
Ein Reißnagel wird immer wieder geworfen; das Diagramm zeigt die relative Häufigkeit von „Spitze oben“. Welchen Wert schätzt man für die Wahrscheinlichkeit?
Erklärung: Nach 1000 Würfen liegt h bei etwa 0,58 und ändert sich kaum noch. 0,70 ist der Wert der kurzen Serie, und 0,50 gilt nur bei gleicher Chance beider Lagen.
Ein Reißnagel kann auf zwei Arten landen. Also ist die Wahrscheinlichkeit für „Spitze oben“ genau ½.
Erklärung: Zwei mögliche Ergebnisse heißen nicht, dass beide gleich wahrscheinlich sind. Die Form des Nagels entscheidet; man schätzt die Wahrscheinlichkeit mit einer langen Versuchsreihe.
Rot beim Glücksrad wird geschätzt: aus 5 Drehungen (3-mal Rot) oder aus 2000 Drehungen (1240-mal Rot). Welche Schätzung ist verlässlicher?
Erklärung: Je länger die Serie, desto näher liegt h an der Wahrscheinlichkeit. 3/5 = 0,6 und 1240/2000 = 0,62 wirken ähnlich, aber nur die lange Serie ist belastbar.
Ein Reißnagel wird 800-mal geworfen, 464-mal landet er mit der Spitze oben. Schätze die Wahrscheinlichkeit für „Spitze oben“ (als Dezimalzahl).
Erklärung: h = 464/800 = 0,58; das ist der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit für „Spitze oben“ wird mit 0,58 geschätzt. Mit wie vielen Würfen „Spitze oben“ rechnet man bei 500 Würfen ungefähr?
Erklärung: Erwartete Anzahl: 500 · 0,58 = 290. Die tatsächliche Anzahl weicht etwas ab.
Eine faire Münze fiel 6-mal hintereinander auf Kopf. Nun folgt der 7. Wurf. Was trifft zu?
Erklärung: Die Münze hat kein Gedächtnis: Jeder Wurf ist neu. Weder „Zahl ist fällig“ noch „die Serie geht weiter“ ändert etwas an der Chance.
Nach 100 Würfen mit 45-mal Kopf und 55-mal Zahl kann der Unterschied zwischen beiden Anzahlen nach 1000 Würfen größer sein als 10.
Erklärung: Es wird nichts „nachgeholt“: Der Unterschied kann bleiben oder wachsen, während sich der Anteil h dem Wert 0,5 nähert.
Das Diagramm zeigt, um wie viel sich die Anzahl der Kopf- und Zahl-Würfe unterscheidet. Wie groß ist der Unterschied nach 500 Würfen?
Erklärung: Bei n = 500 liegt die Kurve bei −22: 22 Würfe Unterschied (239-mal Kopf, 261-mal Zahl). Der Unterschied ist nicht auf 0 geschrumpft, obwohl der Anteil bei 0,478 liegt.
Nach 200 Münzwürfen ist 99-mal Kopf gefallen. Um wie viele Würfe unterscheiden sich die Anzahlen von Kopf und Zahl?
Erklärung: Zahl fiel 200 − 99 = 101-mal, der Unterschied ist 101 − 99 = 2.
Nach 500 Münzwürfen fiel 239-mal Kopf und 261-mal Zahl. Um wie viele Prozentpunkte weicht die relative Häufigkeit von Kopf von 50 % ab?
Erklärung: h(Kopf) = 239/500 = 0,478 = 47,8 %, das sind 2,2 Prozentpunkte unter 50 %. Der Unterschied von 22 Würfen wirkt im Anteil klein.
Eine Münze wird geworfen. Nach 10 Würfen sind es 7-mal Kopf, nach 100 Würfen 56-mal Kopf, nach 1000 Würfen 512-mal Kopf.
Berechne für jede Serie die relative Häufigkeit von Kopf und den Unterschied zwischen den Anzahlen von Kopf und Zahl.
Beurteile dann mit deinen Zahlen: Muss nach den ersten 10 Würfen Zahl „aufholen“?
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Der Anteil h beruhigt sich (0,7 → 0,56 → 0,512), doch der Unterschied der Anzahlen wächst (4 → 12 → 24), weil n noch schneller wächst als die Abweichung. Ein Ausgleich findet nicht statt.