Gesetz der großen Zahlen

Law of large numbers

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStatistikRelative Häufigkeiten

Bei wachsender Zahl von Versuchen pendelt sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses um einen festen Wert ein (empirisches Gesetz der großen Zahlen); kurze Serien schwanken stark. Deshalb ist die relative Häufigkeit einer langen Serie ein sinnvoller Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Räumt zwei Fehlvorstellungen aus: Kurze Serien seien verlässlich, und ein Ungleichgewicht werde später „ausgeglichen“ – die absolute Differenz wächst meist weiter, nur der Anteil beruhigt sich. Bereitet die Frage vor, wann man rechnen kann und wann man schätzen muss.

Serien beruhigen sich

Zwei Kinder werfen je eine Münze und notieren nach jeweils 25 Würfen die relative Häufigkeit von Kopf: Serie A und Serie B. Bei wenigen Würfen springen die Werte, bei vielen liegen sie dicht bei 0,5. Das ist das empirische Gesetz der großen Zahlen: Mit wachsender Zahl der Versuche pendelt sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses um einen festen Wert ein. Kurze Serien sagen wenig – 8-mal Kopf in 10 Würfen zeigt keine unfaire Münze.

Vergrößere die Zahl der Würfe n. Wann liegen beide Serien dicht an der gestrichelten Linie 0,5?

Darum nimmt man die relative Häufigkeit einer langen Serie als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, wenn man sie nicht berechnen kann: Landet ein Reißnagel bei 1000 Würfen 575-mal mit der Spitze oben, schätzt man P ≈ 0,58. Zwei mögliche Lagen heißen nicht, dass jede die Wahrscheinlichkeit ½ hat. Bei n Versuchen erwartet man etwa n · P Treffer.

Kein Ausgleich

Nach 6-mal Kopf denken viele: „Jetzt ist Zahl fällig.“ Doch die Münze hat kein Gedächtnis, jeder Wurf ist neu. Das Gesetz sagt nur, dass der Anteil sich beruhigt, nicht dass der Unterschied verschwindet. In der Serie unten wächst der Unterschied zwischen Kopf- und Zahl-Anzahl auf 36 (268-mal Kopf, 232-mal Zahl), obwohl h mit 0,536 nahe an 0,5 liegt: Die Zahl der Würfe wächst schneller als der Unterschied.

Eine Münzserie: Kopf minus Zahl nach je 50 Würfen. Der Unterschied schwankt und wird größer, er kehrt nicht zu 0 zurück.

Voraussetzungen (1)

Relative Häufigkeit

Klasse 8

›

Ermöglicht (1)

Laplace-Experiment oder nicht?

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Zwei Serien mit einer fairen Münze: Serie A hat 10 Würfe, Serie B hat 1000 Würfe. Bei welcher Serie liegt die relative Häufigkeit von Kopf eher nahe bei 0,5 (zwischen 0,45 und 0,55)?

● Bei Serie B (1000 Würfe)
○ Bei Serie A (10 Würfe)
○ Bei beiden gleich wahrscheinlich

Je länger die Serie, desto weniger schwankt h. Bei 10 Würfen ist auch 3 : 7 nicht selten; bei 1000 Würfen liegt h fast immer sehr nahe an 0,5.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Fällt eine Münze in 10 Würfen 8-mal auf Kopf, ist sie sicher nicht fair.

✓ Falsch

Kurze Serien schwanken stark. 8 von 10 kommt bei einer fairen Münze durchaus vor; erst eine lange Serie sagt etwas über die Münze.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt die relative Häufigkeit der Sechs bei wachsender Zahl der Würfe. Bei welchem Wert scheint sie sich einzupendeln?

● Etwa 0,17
○ Etwa 0,30
○ Etwa 0,50

Die Werte sinken von 0,30 (10 Würfe) auf 0,17 (1000 Würfe) und schwanken dort kaum noch. 0,30 ist nur der unruhige Anfangswert.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Reißnagel wird immer wieder geworfen; das Diagramm zeigt die relative Häufigkeit von „Spitze oben“. Welchen Wert schätzt man für die Wahrscheinlichkeit?

● Etwa 0,58
○ Etwa 0,70
○ Genau 0,50

Nach 1000 Würfen liegt h bei etwa 0,58 und ändert sich kaum noch. 0,70 ist der Wert der kurzen Serie, und 0,50 gilt nur bei gleicher Chance beider Lagen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Reißnagel kann auf zwei Arten landen. Also ist die Wahrscheinlichkeit für „Spitze oben“ genau ½.

✓ Falsch

Zwei mögliche Ergebnisse heißen nicht, dass beide gleich wahrscheinlich sind. Die Form des Nagels entscheidet; man schätzt die Wahrscheinlichkeit mit einer langen Versuchsreihe.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Rot beim Glücksrad wird geschätzt: aus 5 Drehungen (3-mal Rot) oder aus 2000 Drehungen (1240-mal Rot). Welche Schätzung ist verlässlicher?

● Die aus 2000 Drehungen
○ Die aus 5 Drehungen
○ Beide gleich verlässlich

Je länger die Serie, desto näher liegt h an der Wahrscheinlichkeit. 3/5 = 0,6 und 1240/2000 = 0,62 wirken ähnlich, aber nur die lange Serie ist belastbar.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Eine faire Münze fiel 6-mal hintereinander auf Kopf. Nun folgt der 7. Wurf. Was trifft zu?

● Kopf und Zahl sind weiterhin gleich wahrscheinlich
○ Zahl ist jetzt wahrscheinlicher, weil die Serie sich ausgleichen muss
○ Kopf ist jetzt wahrscheinlicher, weil die Serie gerade läuft

Die Münze hat kein Gedächtnis: Jeder Wurf ist neu. Weder „Zahl ist fällig“ noch „die Serie geht weiter“ ändert etwas an der Chance.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Nach 100 Würfen mit 45-mal Kopf und 55-mal Zahl kann der Unterschied zwischen beiden Anzahlen nach 1000 Würfen größer sein als 10.

✓ Wahr

Es wird nichts „nachgeholt“: Der Unterschied kann bleiben oder wachsen, während sich der Anteil h dem Wert 0,5 nähert.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt, um wie viel sich die Anzahl der Kopf- und Zahl-Würfe unterscheidet. Wie groß ist der Unterschied nach 500 Würfen?

● 22
○ 3
○ 0

Bei n = 500 liegt die Kurve bei −22: 22 Würfe Unterschied (239-mal Kopf, 261-mal Zahl). Der Unterschied ist nicht auf 0 geschrumpft, obwohl der Anteil bei 0,478 liegt.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Eine faire Münze wird sehr oft geworfen. Auf welchen Wert pendelt sich die relative Häufigkeit von Kopf ein?

✓ Antwort: 0.5

Bei einer fairen Münze sind Kopf und Zahl gleich häufig zu erwarten: h(Kopf) nähert sich 0,5.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Ein Reißnagel wird 800-mal geworfen, 464-mal landet er mit der Spitze oben. Schätze die Wahrscheinlichkeit für „Spitze oben“ (als Dezimalzahl).

✓ Antwort: 0.58

h = 464/800 = 0,58; das ist der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Nach 200 Münzwürfen ist 99-mal Kopf gefallen. Um wie viele Würfe unterscheiden sich die Anzahlen von Kopf und Zahl?

✓ Antwort: 2

Zahl fiel 200 − 99 = 101-mal, der Unterschied ist 101 − 99 = 2.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Serie A: 20 Würfe, 13-mal Kopf. Serie B: 2000 Würfe, 1030-mal Kopf. Um wie viele Prozentpunkte weicht die relative Häufigkeit von Kopf in Serie B von 50 % ab?

✓ Antwort: 1.5

Serie B: 1030/2000 = 0,515 = 51,5 %, also 1,5 Prozentpunkte über 50 %. Serie A hätte 13/20 = 65 %, weit mehr Abweichung.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Wahrscheinlichkeit für „Spitze oben“ wird mit 0,58 geschätzt. Mit wie vielen Würfen „Spitze oben“ rechnet man bei 500 Würfen ungefähr?

✓ Antwort: 290

Erwartete Anzahl: 500 · 0,58 = 290. Die tatsächliche Anzahl weicht etwas ab.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Nach 500 Münzwürfen fiel 239-mal Kopf und 261-mal Zahl. Um wie viele Prozentpunkte weicht die relative Häufigkeit von Kopf von 50 % ab?

✓ Antwort: 2.2

h(Kopf) = 239/500 = 0,478 = 47,8 %, das sind 2,2 Prozentpunkte unter 50 %. Der Unterschied von 22 Würfen wirkt im Anteil klein.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Münze wird geworfen. Nach 10 Würfen sind es 7-mal Kopf, nach 100 Würfen 56-mal Kopf, nach 1000 Würfen 512-mal Kopf. Berechne für jede Serie die relative Häufigkeit von Kopf und den Unterschied zwischen den Anzahlen von Kopf und Zahl. Beurteile dann mit deinen Zahlen: Muss nach den ersten 10 Würfen Zahl „aufholen“? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: h = 7/10 = 0,7; 56/100 = 0,56; 512/1000 = 0,512. Unterschied Kopf − Zahl: 7 − 3 = 4; 56 − 44 = 12; 512 − 488 = 24. Der Anteil nähert sich 0,5, der Unterschied wird aber größer. Es muss nichts aufgeholt werden – der Zufall gleicht nichts aus.

Der Anteil h beruhigt sich (0,7 → 0,56 → 0,512), doch der Unterschied der Anzahlen wächst (4 → 12 → 24), weil n noch schneller wächst als die Abweichung. Ein Ausgleich findet nicht statt.