Laplace-Experiment oder nicht?
Welches Experiment ist ein Laplace-Experiment?
Erklärung: Bei gleichen Kugeln hat jede dieselbe Chance. Beim Rad mit dem großen roten Feld und beim Reißnagel sind die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich.
Ein Rad mit vier Farben ist immer ein Laplace-Experiment, weil es vier Ergebnisse hat.
Erklärung: Vier Ergebnisse genügen nicht: Sie müssen gleich wahrscheinlich sein, also müssen die Felder gleich groß sein.
Das Rad wird gedreht, notiert wird die Farbe. Ist das ein Laplace-Experiment?
Erklärung: Das rote Feld ist deutlich größer als die anderen; die vier Farben sind nicht gleich wahrscheinlich. Bei vier gleich großen Feldern wäre es ein Laplace-Experiment.
Ein Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleich wahrscheinlichen Ergebnissen heißt ___-Experiment.
Erklärung: Nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace: Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit.
Fünf Experimente: (1) fairer Würfel, (2) Reißnagel, (3) faire Münze, (4) Rad mit vier ungleich großen Feldern, (5) Urne mit 8 gleichen Kugeln. Wie viele davon sind Laplace-Experimente?
Erklärung: Laplace-Experimente sind (1), (3) und (5). Beim Reißnagel und beim Rad mit ungleichen Feldern sind die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich.
Zwei faire Münzen werden geworfen. Welche Ergebnismenge ist ein Laplace-Modell, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind?
Erklärung: Die vier geordneten Paare sind gleich wahrscheinlich. „1-mal Kopf“ entsteht auf zwei Wegen (KZ, ZK), „0-mal“ und „2-mal“ nur auf je einem. „Mindestens einmal Zahl“ entsteht auf drei Wegen, „zweimal Kopf“ nur auf einem.
Bei zwei Würfeln entsteht die Augensumme 7 auf mehr Wegen als die Augensumme 2; die Summen sind also nicht gleich wahrscheinlich.
Erklärung: Die Summe 7 entsteht auf sechs Wegen, die Summe 2 nur auf einem. Gleich wahrscheinlich sind die 36 Paare (1. Würfel | 2. Würfel).
Das Diagramm zeigt, auf wie vielen Wegen jede Augensumme mit zwei Würfeln entsteht. Welche Summe ist am wahrscheinlichsten?
Erklärung: Die höchste Säule gehört zur Summe 7: sechs der 36 Paare. Die Summen 2 und 12 haben nur je ein Paar.
Drei faire Münzen werden geworfen, notiert wird für jede Münze Kopf oder Zahl. Wie viele Ergebnisse hat das Laplace-Modell?
Erklärung: Jede Münze hat 2 Möglichkeiten: 2 · 2 · 2 = 8 Ergebnisse (KKK, KKZ, …, ZZZ).
Zwei Würfel werden geworfen. Auf wie vielen Wegen (Paaren) entsteht die Augensumme 6?
Erklärung: (1|5), (2|4), (3|3), (4|2), (5|1): fünf Paare. Deshalb ist die Summe 6 nicht so wahrscheinlich wie die 7 mit sechs Paaren.
Lena sagt: „Bei zwei Münzen gibt es drei Ergebnisse: zweimal Kopf, einmal Kopf, keinmal Kopf. Also ist jedes zu einem Drittel wahrscheinlich.“
Schreibe die Ergebnismenge auf, in der alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, und zähle, auf wie vielen Wegen jedes von Lenas drei Ergebnissen entsteht.
Erkläre damit, warum Lenas Modell kein Laplace-Modell ist.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Das feinere Modell mit vier geordneten Paaren ist symmetrisch. Lenas mittlerer Ausgang fasst zwei davon zusammen (KZ und ZK) und ist deshalb doppelt so wahrscheinlich wie jeder der beiden anderen.
Bei welchem Experiment schätzt man die Wahrscheinlichkeiten besser mit einer langen Versuchsreihe, weil das Laplace-Modell nicht passt?
Erklärung: Beim Reißnagel gibt es keine Symmetrie, die beide Lagen gleich wahrscheinlich macht. Beim fairen Würfel und bei gleichen Kugeln liefert die Symmetrie das Modell.
Ein Fußballspiel hat drei mögliche Ausgänge (Sieg, Unentschieden, Niederlage), also hat jeder die Wahrscheinlichkeit ⅓.
Erklärung: Die drei Ausgänge sind nicht gleich wahrscheinlich; Unentschieden ist zum Beispiel seltener. Man schätzt mit relativen Häufigkeiten vieler Spiele.
Ein Gerät zeigt eine Zahl von 1 bis 4. Das Diagramm zeigt 1000 Versuche. Ist das Laplace-Modell (alle Zahlen gleich wahrscheinlich) tragfähig?
Erklärung: Bei einem Laplace-Modell erwartet man etwa 250 pro Zahl. Hier kommt die 1 402-mal vor, die 4 nur 169-mal – eine lange Serie widerspricht der Gleichwahrscheinlichkeit.
Beim Reißnagel schätzt man die Wahrscheinlichkeit mit der ___ Häufigkeit einer langen Versuchsreihe.
Erklärung: Die relative Häufigkeit h = H/n einer langen Serie ist der Schätzwert.
Ein Rad mit vier Farben wird 2000-mal gedreht, 1000-mal fällt Rot. Welchen Wert schätzt man für die Wahrscheinlichkeit von Rot (als Dezimalzahl)?
Erklärung: h(Rot) = 1000/2000 = 0,5. Der Wert ¼ = 0,25 würde nur bei vier gleich großen Feldern gelten.
Ein normaler Würfel wird geworfen. Ist das ein Laplace-Experiment?
Ja: Die sechs Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich.
Aus einer Urne mit 10 gleichen, nummerierten Kugeln wird eine gezogen. Ist das ein Laplace-Experiment?
Ja: Jede der zehn Kugeln wird gleich wahrscheinlich gezogen.
Zwei Würfel werden geworfen. Ist jede Augensumme von 2 bis 12 gleich wahrscheinlich?
Nein: Die 7 entsteht auf 6 Arten (1+6, 2+5, …), die 2 nur als 1+1.
Ein Glücksrad hat ein großes rotes Feld (halbes Rad) und vier kleine. Ist jedes der fünf Felder gleich wahrscheinlich?
Nein: Das große Feld nimmt die Hälfte des Rades ein, es kommt öfter.
Ein Glücksrad hat 12 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 12. Wie viele Felder zeigen eine durch 3 teilbare Zahl?
3, 6, 9, 12: vier Felder.
Ein Glücksrad hat 20 gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 20. Wie viele Felder zeigen eine durch 4 teilbare Zahl?
4, 8, 12, 16, 20: fünf Felder.
Bei welchem Versuch darfst du P = günstige : mögliche rechnen?
Kopf und Zahl sind gleich wahrscheinlich. Beim Reißnagel und bei der Augensumme sind die Ergebnisse es nicht.
Bei welchem Versuch darfst du P = günstige : mögliche rechnen?
Jede Karte ist gleich wahrscheinlich. Ein Kronkorken und das Wetter von morgen haben keine gleich wahrscheinlichen Ergebnisse.
Zwei Münzen werden geworfen. Wie groß ist P(zweimal Kopf)?
KZ und ZK sind zwei verschiedene Ergebnisse: Es sind vier, nicht drei.
Vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK, ZZ. Eins davon ist KK: P = 1/4.
Zwei Münzen werden geworfen. Wie groß ist P(einmal Kopf und einmal Zahl)?
KZ und ZK sind zwei verschiedene Ergebnisse: Es sind vier, nicht drei.
Vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse: KK, KZ, ZK, ZZ. Zwei davon passen: P = 2/4.