Günstige durch mögliche
In einer Urne liegen 4 rote und 6 blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, blind eine rote zu ziehen?
Erklärung: Günstig sind 4 Kugeln, möglich 10 (4 + 6): P = 4/10 = 2/5. 2/3 = 4/6 vergleicht rote mit blauen; 1/10 wäre eine einzelne Kugel.
Bei einem fairen Würfel ist P(Sechs) = 1/5, weil 1 Zahl günstig und 5 Zahlen ungünstig sind.
Erklärung: Geteilt wird durch alle möglichen Ergebnisse: P(Sechs) = 1/6. „1 zu 5“ ist ein Verhältnis von günstig zu ungünstig, keine Wahrscheinlichkeit.
Das Rad hat acht gleich große Felder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Blau?
Erklärung: Drei der acht gleich großen Felder sind blau: P(Blau) = 3/8. 3/5 wäre blau zu grün; 1/8 nur ein einzelnes Feld.
P(E) = Anzahl der ___ Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
Erklärung: Günstig sind die Ergebnisse, bei denen E eintritt: Sie stehen im Zähler.
Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten wird blind eine gezogen. Es gibt 4 Asse. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass (als Dezimalzahl)?
Erklärung: P(Ass) = 4/32 = 1/8 = 0,125.
Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 8 (als Dezimalzahl, auf drei Stellen gerundet)?
Erklärung: Günstig sind (2|6), (3|5), (4|4), (5|3), (6|2): 5 Paare, möglich sind 36. P = 5/36 ≈ 0,139.
In einer Urne liegen 4 rote, 3 grüne und 3 blaue Kugeln. Blind wird eine gezogen. Tom sagt: „P(rot) = 4/6, denn 4 rote und 6 andere.“
Berechne P(rot) mit der Laplace-Formel als Bruch, Dezimalzahl und Prozentsatz und begründe, warum die Formel hier anwendbar ist.
Erkläre Toms Fehler. Berechne außerdem P(nicht rot) auf zwei Wegen: direkt durch Zählen und über das Gegenereignis.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Im Nenner stehen alle 10 Kugeln. Toms 4/6 vergleicht rot mit den übrigen; das ist ein Verhältnis, kein Anteil an allen. P(nicht rot) = 6/10 = 1 − 4/10.
Welche Zahl kann keine Wahrscheinlichkeit sein?
Erklärung: Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1, die Grenzen eingeschlossen: 0 (unmöglich) und 1 (sicher) sind möglich, 1,2 nicht.
Ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 kann beim Laplace-Experiment nie eintreten.
Erklärung: P = 0 heißt |E| = 0: Es gibt kein günstiges Ergebnis, das Ereignis ist unmöglich.
Auf der Skala ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beim Würfeln markiert. Welches Ereignis ist es?
Erklärung: Die Marke liegt bei 5/6. „Höchstens 5“ hat fünf günstige Ergebnisse von sechs. „Ungerade“ wäre 3/6 = 1/2, „gleich 5“ nur 1/6.
Ein fairer Würfel wird geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 7 erscheint?
Erklärung: Es gibt kein günstiges Ergebnis: P = 0/6 = 0. Das Ereignis ist unmöglich.
Ein Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 3/8. Wie viel Prozent sind das?
Erklärung: 3/8 = 0,375 = 37,5 %.
Für ein Ereignis E ist P(E) = 0,3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses?
Erklärung: P(Ē) = 1 − 0,3 = 0,7. 1,3 wäre eine Wahrscheinlichkeit über 1, und 0,3 gilt für E selbst.
Für jedes Ereignis E gilt P(E) + P(Ē) = 1.
Erklärung: E und Ē zusammen umfassen ganz Ω, ohne Überschneidung – ihre Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1.
Das Rad hat zwölf gleich große Felder. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „nicht Rot“?
Erklärung: Rot hat 5 von 12 Feldern, also ist P(nicht Rot) = 1 − 5/12 = 7/12. 7/5 wäre größer als 1.
Für ein Ereignis E ist P(E) = 7/20. Wie groß ist P(Ē) (als Dezimalzahl)?
Erklärung: P(Ē) = 1 − 7/20 = 13/20 = 0,65.
Zwei faire Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Augensumme mindestens 3“ (als Dezimalzahl, auf drei Stellen gerundet)?
Erklärung: Das Gegenereignis „Augensumme 2“ hat nur das Paar (1 | 1): P(Ē) = 1/36. Also P(E) = 1 − 1/36 = 35/36 ≈ 0,972.
Ein Würfel wird geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl?
Die 1 ist keine Primzahl.
Primzahlen: 2, 3, 5. Drei günstige von sechs: P = 3/6 = 1/2.
Ein Würfel wird geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl kleiner als 3?
Die 3 selbst ist nicht kleiner als 3.
Kleiner als 3: 1 und 2. Zwei günstige von sechs: P = 2/6.
In einer Urne liegen 3 rote und 5 blaue Kugeln. Wie groß ist P(rot)?
Unten stehen alle Kugeln: 3 + 5 = 8.
3 günstige von 8 Kugeln: P = 3/8.
In einer Urne liegen 4 grüne und 7 gelbe Kugeln. Wie groß ist P(grün)?
Unten stehen alle Kugeln: 4 + 7 = 11.
4 günstige von 11 Kugeln: P = 4/11.
Glücksrad mit 12 gleich großen Feldern, 1 bis 12. Wie groß ist P(durch 3 teilbar)?
Unten stehen alle 12 Felder, nicht nur die ungünstigen.
4 günstige von 12: P = 4/12 = 1/3.
Glücksrad mit 20 gleich großen Feldern, 1 bis 20. Wie groß ist P(durch 4 teilbar)?
Unten stehen alle 20 Felder, nicht nur die ungünstigen.
5 günstige von 20: P = 5/20 = 1/4.
Ein Würfel wird geworfen. Wie groß ist P(keine 6)?
Fünf Ergebnisse sind keine 6: P = 5/6 = 1 − 1/6.
Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder, eins davon ist der Hauptgewinn. Wie groß ist P(kein Hauptgewinn)?
Sieben Felder sind kein Hauptgewinn: P = 7/8 = 1 − 1/8.
Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird eine gezogen. Es gibt 4 Asse. Wie groß ist P(Ass)?
4 günstige von 32: P = 4/32 = 1/8.
Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird eine gezogen. Es gibt 8 Herzkarten. Wie groß ist P(Herz)?
8 günstige von 32: P = 8/32 = 1/4.
Kann eine Wahrscheinlichkeit 7/5 sein?
Nein: Es kann nicht mehr günstige als mögliche Ergebnisse geben. P liegt zwischen 0 und 1.
Kann eine Wahrscheinlichkeit 9/4 sein?
Nein: Es kann nicht mehr günstige als mögliche Ergebnisse geben. P liegt zwischen 0 und 1.