Ableiten mit ln
Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(3x + 1)?
Erklärung: (ln g(x))Ⲡ= gâ˛(x)/g(x) mit g(x) = 3x + 1 und gâ˛(x) = 3. Bei â1/(3x + 1)â fehlt die innere Ableitung 3, bei â3/xâ wurde das Argument durch x ersetzt.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(x² + 1)?
Erklärung: g(x) = x² + 1, gâ˛(x) = 2x, also fâ˛(x) = 2x/(x² + 1). Ohne innere Ableitung bleibt â1/(x² + 1)â; die Ableitung enthält kein ln mehr.
Der Punkt liegt bei x = 5 auf dem Graphen von f(x) = ln(x â 2). Die Tangente dort hat die Steigung 1/5.
Erklärung: fâ˛(x) = 1/(x â 2) (innere Ableitung 1), also fâ˛(5) = 1/3. Die Steigung 1/5 wäre die von ln x an der Stelle 5; die Verschiebung um 2 nach rechts verschiebt die Stelle: Die Steigung von ln bei 3 ist 1/3.
Welche Steigung hat f(x) = ln(2x + 4) an der Stelle x = 1? (auf 0,001 genau)
Erklärung: fâ˛(x) = 2/(2x + 4). Bei x = 1: 2/6 = 1/3 â 0,333.
Welche Steigung hat f(x) = ln(5 â x) an der Stelle x = 2? (auf 0,001 genau)
Erklärung: g(x) = 5 â x, gâ˛(x) = â1, also fâ˛(x) = â1/(5 â x). Bei x = 2: â1/3 â â0,333. (f ist nur fĂźr x < 5 definiert und fällt.)
Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(5x)?
Erklärung: Mit der Kettenregel: 5/(5x) = 1/x. Oder erst vereinfachen: ln(5x) = ln 5 + ln x, und ln 5 ist eine Konstante, also fâ˛(x) = 1/x. â1/(5x)â lässt die innere Ableitung weg, â5/xâ kĂźrzt nicht.
Die Graphen von ln x und ln(2x) haben an jeder Stelle x > 0 dieselbe Steigung.
Erklärung: ln(2x) = ln 2 + ln x: Der zweite Graph ist der erste, um ln 2 â 0,69 nach oben verschoben. Eine Verschiebung nach oben ändert die Steigung nicht.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(xÂł) fĂźr x > 0?
Erklärung: ln(xÂł) = 3 ¡ ln x, also fâ˛(x) = 3/x. Mit der Kettenregel: 3x²/xÂł = 3/x. â1/xÂłâ vergisst die innere Ableitung, â3x²â ist nur die Ableitung des Arguments.
Berechne fâ˛(2) fĂźr f(x) = ln(xâ´).
Erklärung: ln(xâ´) = 4 ¡ ln x, also fâ˛(x) = 4/x und fâ˛(2) = 2.
Welche Steigung hat f(x) = ln(âx) an der Stelle x = 4? (auf 0,001 genau)
Erklärung: ln âx = ½ ¡ ln x, also fâ˛(x) = 1/(2x) und fâ˛(4) = 1/8 = 0,125.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x ¡ ln x?
Erklärung: Produktregel: (x ¡ ln x)Ⲡ= 1 ¡ ln x + x ¡ 1/x = ln x + 1. Nur âln xâ berĂźcksichtigt allein uⲠ¡ v, nur â1â nur u ¡ vâ˛.
Der Graph von f(x) = x ¡ ln x hat bei x = 1 die Steigung 1.
Erklärung: fâ˛(x) = ln x + 1, also fâ˛(1) = ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1.
Wie lautet die Ableitung von f(x) = x² ¡ ln x?
Erklärung: Produktregel: 2x ¡ ln x + x² ¡ 1/x = 2x ¡ ln x + x. Der Summand x² ¡ (1/x) = x fehlt bei â2x ¡ ln xâ; â2â kĂźrzt fälschlich das ln weg.
Berechne fâ˛(e) fĂźr f(x) = x ¡ ln x.
Erklärung: fâ˛(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2.
An welcher Stelle x > 0 hat f(x) = x ¡ ln x eine waagerechte Tangente? (auf 0,001 genau)
Erklärung: fâ˛(x) = ln x + 1 = 0 â ln x = â1 â x = eâťÂš = 1/e â 0,3679.
Gegeben ist f(x) = x ¡ ln(2x) fßr x > 0. Vereinfache f mit einer Logarithmenregel, leite f ab und bestimme die Stelle, an der der Graph von f eine waagerechte Tangente hat.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Nach der Produktregel ist (x ¡ ln(2x))Ⲡ= ln(2x) + x ¡ 2/(2x) = ln(2x) + 1. Die Nullstelle von fâ˛: x = 1/(2e).