Ableiten mit ln

Differentiating with ln

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
AnalysisNatürlicher LogarithmusDifferentiation

Steht ein Term g(x) im ln, gilt (ln g(x))′ = g′(x)/g(x) mit der inneren Ableitung im Zähler; oft ist es einfacher, erst mit den Logarithmenregeln zu vereinfachen, etwa ln(5x) = ln 5 + ln x mit der Ableitung 1/x. Steht ln in einem Produkt, kommt die Produktregel dazu: (x·ln x)′ = ln x + 1. Der Abschnitt räumt aus, die innere Ableitung zu vergessen (1/(3x+1) statt 3/(3x+1)), die Produktregel unvollständig anzuwenden und ln 5 als variablen Faktor zu behandeln. Er bereitet die Untersuchung von Verknüpfungen mit ln vor.

Verkettung: ln(g(x))

Aus wird mit der Kettenregel für einen Term g(x) im ln:

Die innere Ableitung steht im Zähler. Beispiel: für x > −1/3. Für g(x) = x − c ist g′(x) = 1, also : Der Graph ist der von ln, um c nach rechts verschoben, mit der senkrechten Asymptote x = c. Häufiger Fehler: nur 1/g(x) hinzuschreiben und die innere Ableitung zu vergessen. Auch eine negative innere Ableitung ist möglich: für x < 5. Ein weiteres Beispiel: ; der Nenner ist immer positiv, deshalb ist die Funktion für alle x definiert.

Ändere c und x₀. Die Steigung in P und 1/(x₀ − c) stimmen überein; wohin wandert die Asymptote?

Erst vereinfachen, dann ableiten

Mit den Logarithmenregeln geht es oft einfacher. Aus und der Konstanten ln 5 folgt , genau wie bei ln x: Die Graphen sind nur gegeneinander verschoben. Ebenso ist mit der Ableitung 3/x und mit der Ableitung 1/(2x). Vereinfachen ändert den Term, kann aber die Definitionsmenge ändern: ln(x²) = 2 · ln|x| gilt für alle x ≠ 0. Steht ln in einem Produkt, gilt die Produktregel:

Diese Ableitung ist null für ln x = −1, also bei x = 1/e; dort hat der Graph von x · ln x eine waagerechte Tangente.

Ändere k. Wie verhalten sich die beiden Tangenten bei x₀ = 2, und welchen Abstand haben die Graphen?

Voraussetzungen (2)

Die Ableitung von ln
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Logarithmenregeln
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(3x + 1)?

  • ● 3/(3x + 1)
  • ○ 1/(3x + 1)
  • ○ 3/x
(ln g(x))′ = g′(x)/g(x) mit g(x) = 3x + 1 und g′(x) = 3. Bei „1/(3x + 1)“ fehlt die innere Ableitung 3, bei „3/x“ wurde das Argument durch x ersetzt.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(x² + 1)?

  • ● 2x/(x² + 1)
  • ○ 1/(x² + 1)
  • ○ 2x · ln(x² + 1)
g(x) = x² + 1, g′(x) = 2x, also f′(x) = 2x/(x² + 1). Ohne innere Ableitung bleibt „1/(x² + 1)“; die Ableitung enthält kein ln mehr.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Punkt liegt bei x = 5 auf dem Graphen von f(x) = ln(x − 2). Die Tangente dort hat die Steigung 1/5.

✓ Falsch
f′(x) = 1/(x − 2) (innere Ableitung 1), also f′(5) = 1/3. Die Steigung 1/5 wäre die von ln x an der Stelle 5; die Verschiebung um 2 nach rechts verschiebt die Stelle: Die Steigung von ln bei 3 ist 1/3.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(5x)?

  • ● 1/x
  • ○ 1/(5x)
  • ○ 5/x
Mit der Kettenregel: 5/(5x) = 1/x. Oder erst vereinfachen: ln(5x) = ln 5 + ln x, und ln 5 ist eine Konstante, also f′(x) = 1/x. „1/(5x)“ lässt die innere Ableitung weg, „5/x“ kürzt nicht.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Graphen von ln x und ln(2x) haben an jeder Stelle x > 0 dieselbe Steigung.

✓ Wahr
ln(2x) = ln 2 + ln x: Der zweite Graph ist der erste, um ln 2 ≈ 0,69 nach oben verschoben. Eine Verschiebung nach oben ändert die Steigung nicht.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(x³) für x > 0?

  • ● 3/x
  • ○ 1/x³
  • ○ 3x²
ln(x³) = 3 · ln x, also f′(x) = 3/x. Mit der Kettenregel: 3x²/x³ = 3/x. „1/x³“ vergisst die innere Ableitung, „3x²“ ist nur die Ableitung des Arguments.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = x · ln x?

  • ● ln x + 1
  • ○ ln x
  • ○ 1
Produktregel: (x · ln x)′ = 1 · ln x + x · 1/x = ln x + 1. Nur „ln x“ berücksichtigt allein u′ · v, nur „1“ nur u · v′.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x · ln x hat bei x = 1 die Steigung 1.

✓ Wahr
f′(x) = ln x + 1, also f′(1) = ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Wie lautet die Ableitung von f(x) = x² · ln x?

  • ● 2x · ln x + x
  • ○ 2
  • ○ 2x · ln x
Produktregel: 2x · ln x + x² · 1/x = 2x · ln x + x. Der Summand x² · (1/x) = x fehlt bei „2x · ln x“; „2“ kürzt fälschlich das ln weg.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Welche Steigung hat f(x) = ln(2x + 4) an der Stelle x = 1? (auf 0,001 genau)

✓ Antwort: 0.3333
f′(x) = 2/(2x + 4). Bei x = 1: 2/6 = 1/3 ≈ 0,333.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne f′(2) für f(x) = ln(x⁴).

✓ Antwort: 2
ln(x⁴) = 4 · ln x, also f′(x) = 4/x und f′(2) = 2.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne f′(e) für f(x) = x · ln x.

✓ Antwort: 2
f′(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Welche Steigung hat f(x) = ln(5 − x) an der Stelle x = 2? (auf 0,001 genau)

✓ Antwort: -0.3333
g(x) = 5 − x, g′(x) = −1, also f′(x) = −1/(5 − x). Bei x = 2: −1/3 ≈ −0,333. (f ist nur für x < 5 definiert und fällt.)
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Welche Steigung hat f(x) = ln(√x) an der Stelle x = 4? (auf 0,001 genau)

✓ Antwort: 0.125
ln √x = ½ · ln x, also f′(x) = 1/(2x) und f′(4) = 1/8 = 0,125.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

An welcher Stelle x > 0 hat f(x) = x · ln x eine waagerechte Tangente? (auf 0,001 genau)

✓ Antwort: 0.3679
f′(x) = ln x + 1 = 0 ⇒ ln x = −1 ⇒ x = e⁻¹ = 1/e ≈ 0,3679.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Gegeben ist f(x) = x · ln(2x) für x > 0. Vereinfache f mit einer Logarithmenregel, leite f ab und bestimme die Stelle, an der der Graph von f eine waagerechte Tangente hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: ln(2x) = ln 2 + ln x, also f(x) = x · ln 2 + x · ln x. f′(x) = ln 2 + ln x + 1 = ln(2x) + 1. f′(x) = 0 ⇒ ln(2x) = −1 ⇒ 2x = 1/e ⇒ x = 1/(2e) ≈ 0,184.
Nach der Produktregel ist (x · ln(2x))′ = ln(2x) + x · 2/(2x) = ln(2x) + 1. Die Nullstelle von f′: x = 1/(2e).