Die Ableitung von ln
Im Punkt P(1 | e) hat eˣ die Steigung e ≈ 2,72. Welche Steigung hat ln im Spiegelpunkt P′(e | 1)?
Erklärung: Beim Spiegeln an y = x vertauschen Δx und Δy: Aus der Steigung m wird 1/m. Also hat ln in P′ die Steigung 1/e ≈ 0,37. Die Steigung e bliebe gleich, wenn man sie nicht umkehrte; −e käme von einer Spiegelung an der x-Achse.
Die Gerade y = 2x wird an der Geraden y = x gespiegelt. Das Spiegelbild hat ebenfalls die Steigung 2.
Erklärung: Beim Spiegeln an y = x wird x zu y: Aus y = 2x wird x = 2y, also y = x/2. Die Steigung ist 1/2, der Kehrwert von 2.
Die Tangente an eˣ im Punkt (t | eᵗ) hat die Steigung 5. Dann hat die Tangente an ln im Spiegelpunkt (5 | t) die Steigung 0,2.
Erklärung: Die Steigungen gespiegelter Tangenten sind Kehrwerte: 1/5 = 0,2. Es ist kein Zufall, dass hier 5 auch die x-Koordinate des Spiegelpunkts ist: Bei ln ist die Steigung an der Stelle x immer 1/x.
Die Tangente an eˣ im Punkt P hat die Steigung 4. Welche Steigung hat die Tangente an ln im Spiegelpunkt von P?
Erklärung: Die Steigung im Spiegelpunkt ist der Kehrwert: 1/4 = 0,25.
Die Tangente an eˣ an der Stelle x = 2 hat die Steigung e². Welche Steigung hat ln im Spiegelpunkt (e² | 2)? (auf 0,001 genau)
Erklärung: Kehrwert: 1/e² = 1/7,39 ≈ 0,1353. (Passt zu 1/x mit x = e².)
Beide Seiten von e^(ln x) = x werden abgeleitet. Welche Gleichung entsteht mit der Kettenregel?
Erklärung: Äußere Ableitung: e^(ln x). Innere Ableitung: (ln x)′. Rechts steht x′ = 1. Wer die innere Ableitung vergisst, erhält e^(ln x) = 1; wer sie durch ln x ersetzt, den dritten Ausdruck.
Beim Ableiten von e^(ln x) = x darf man die innere Ableitung weglassen, weil e^u seine eigene Ableitung ist.
Erklärung: (e^u)′ = e^u gilt für die äußere Funktion; mit u = ln x kommt der Faktor u′ = (ln x)′ dazu. Ohne ihn stünde e^(ln x) = 1, also x = 1 für alle x: unmöglich.
Aus e^(ln x) · (ln x)′ = 1 und e^(ln x) = x folgt:
Erklärung: Einsetzen von e^(ln x) = x gibt x · (ln x)′ = 1, also (ln x)′ = 1/x. „x“ wäre falsch gekürzt, „1/ln x“ ersetzt x durch ln x.
Ergänze: Aus x · (ln x)′ = 1 folgt (ln x)′ = 1/___
Erklärung: Beide Seiten durch x teilen (x > 0): (ln x)′ = 1/x.
In x · (ln x)′ = 1 wird x = 5 eingesetzt. Wie groß ist die Ableitung von ln an der Stelle 5?
Erklärung: 5 · ln′(5) = 1, also ln′(5) = 1/5 = 0,2.
Der Punkt liegt bei x = 2 auf dem Graphen von ln. Welche Steigung hat der Graph dort?
Erklärung: (ln x)′ = 1/x, an der Stelle 2 also 1/2 = 0,5. Die 2 ist nur die Stelle selbst, 0,69 der Funktionswert ln 2 ≈ 0,69.
Der Graph von ln steigt überall. Also ist die Steigung von ln an der Stelle x = 100 positiv.
Erklärung: (ln x)′ = 1/x, an der Stelle 100 also 1/100 = 0,01 > 0: positiv, aber winzig, der Graph ist dort schon sehr flach.
Wie groß ist die Steigung von ln an der Stelle x = e?
Erklärung: Die Steigung ist 1/x = 1/e ≈ 0,37. Die 1 ist der Funktionswert ln e, nicht die Steigung. Die 0 entsteht, wenn man erst e einsetzt und dann ableitet ((ln e)′ = 1′ = 0); abgeleitet wird aber zuerst die Funktion, eingesetzt danach.
Es gilt (ln 5)′ = 1/5.
Erklärung: ln 5 ≈ 1,61 ist eine feste Zahl, ihre Ableitung ist 0. Erst (ln x)′ = 1/x, danach x = 5 einsetzen, ergibt 1/5.
Berechne die Steigung von ln an der Stelle x = 8 (auf 0,001 genau).
Erklärung: (ln x)′ = 1/x, also 1/8 = 0,125.
Die Tangente an ln bei xâ‚€ = 4 hat die Gleichung y = mx + b. Bestimme b (auf 0,01 genau).
Erklärung: m = 1/4. Die Tangente geht durch (4 | ln 4): ln 4 = 1/4 · 4 + b ⇒ b = ln 4 − 1 ≈ 1,3863 − 1 ≈ 0,3863.
Leite (ln x)′ = 1/x aus e^(ln x) = x (x > 0) her: Leite beide Seiten ab und begründe jeden Schritt. Bestimme damit die Gleichung der Tangente an ln bei x = 2.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Die Kettenregel liefert links den Faktor (ln x)′; rechts ist die Ableitung von x gleich 1. Die Tangente: y = ln 2 + 0,5(x − 2).