Die Ableitung von ln

The derivative of ln

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
AnalysisNatürlicher LogarithmusDifferentiation

Beim Spiegeln an y = x wird aus der Steigung m die Steigung 1/m: Im Spiegelpunkt (eᵗ | t) hat ln die Steigung 1/eᵗ, an der Stelle x also 1/x. Rechnerisch folgt (ln x)′ = 1/x für x > 0 aus e^(ln x) = x mit der Kettenregel; damit ist die Tangente an ln bestimmt. Der Abschnitt räumt aus, die Steigung der Spiegelung unverändert zu übernehmen, die innere Ableitung wegzulassen und (ln 5)′ mit (ln x)′ an der Stelle 5 zu verwechseln. Er bereitet das Ableiten von Verkettungen mit ln vor.

Steigungen im Spiegelbild

Beim Spiegeln an y = x vertauschen Δx und Δy ihre Rollen. Aus der Steigung wird deshalb die Steigung 1/m. Im Punkt hat eˣ die Steigung eᵗ. Im Spiegelpunkt hat ln also die Steigung 1/eᵗ. Mit x = eᵗ heißt das: Die Steigung von ln an der Stelle x ist 1/x. Für t = 1: In (1 | e) hat eˣ die Steigung e ≈ 2,72, in (e | 1) hat ln die Steigung 1/e ≈ 0,37. Auch für negatives t klappt es: In (−1 | 1/e) hat eˣ die Steigung 1/e ≈ 0,37, und in (1/e | −1) hat ln die Steigung e ≈ 2,72.

Verschiebe P mit t. Wie hängen die beiden Steigungen zusammen, und was passiert bei negativem t?

Herleitung mit der Kettenregel

Rechnerisch geht es mit für x > 0. Beide Seiten werden abgeleitet: links mit der Kettenregel (äußere Ableitung e^(ln x), mal innere Ableitung (ln x)′), rechts ist x′ = 1.

Die Ableitung ist positiv, ln steigt also überall; sie wird mit wachsendem x kleiner, der Graph wird flacher. Die Tangente bei x₀ ist , bei x₀ = 1 also y = x − 1. Vorsicht: Erst ableiten, dann einsetzen. Es gilt (ln 5)′ = 0, denn ln 5 ist eine feste Zahl, aber (ln x)′ an der Stelle 5 ist 1/5.

Verschiebe x₀. Die Steigung der Tangente und 1/x₀ stimmen überein; wo ist der Graph steil, wo flach?

Voraussetzungen (1)

Der Graph von ln
Klasse 12
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Ermöglicht (2)

Ableiten mit ln
Klasse 12
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Funktionen mit ln untersuchen
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Im Punkt P(1 | e) hat eˣ die Steigung e ≈ 2,72. Welche Steigung hat ln im Spiegelpunkt P′(e | 1)?

  • ● 1/e ≈ 0,37
  • ○ e ≈ 2,72
  • ○ −e ≈ −2,72
Beim Spiegeln an y = x vertauschen Δx und Δy: Aus der Steigung m wird 1/m. Also hat ln in P′ die Steigung 1/e ≈ 0,37. Die Steigung e bliebe gleich, wenn man sie nicht umkehrte; −e käme von einer Spiegelung an der x-Achse.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Gerade y = 2x wird an der Geraden y = x gespiegelt. Das Spiegelbild hat ebenfalls die Steigung 2.

✓ Falsch
Beim Spiegeln an y = x wird x zu y: Aus y = 2x wird x = 2y, also y = x/2. Die Steigung ist 1/2, der Kehrwert von 2.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Tangente an eˣ im Punkt (t | eᵗ) hat die Steigung 5. Dann hat die Tangente an ln im Spiegelpunkt (5 | t) die Steigung 0,2.

✓ Wahr
Die Steigungen gespiegelter Tangenten sind Kehrwerte: 1/5 = 0,2. Es ist kein Zufall, dass hier 5 auch die x-Koordinate des Spiegelpunkts ist: Bei ln ist die Steigung an der Stelle x immer 1/x.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Beide Seiten von e^(ln x) = x werden abgeleitet. Welche Gleichung entsteht mit der Kettenregel?

  • ● e^(ln x) · (ln x)′ = 1
  • ○ e^(ln x) = 1
  • ○ e^(ln x) · ln x = 1
Äußere Ableitung: e^(ln x). Innere Ableitung: (ln x)′. Rechts steht x′ = 1. Wer die innere Ableitung vergisst, erhält e^(ln x) = 1; wer sie durch ln x ersetzt, den dritten Ausdruck.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Beim Ableiten von e^(ln x) = x darf man die innere Ableitung weglassen, weil e^u seine eigene Ableitung ist.

✓ Falsch
(e^u)′ = e^u gilt für die äußere Funktion; mit u = ln x kommt der Faktor u′ = (ln x)′ dazu. Ohne ihn stünde e^(ln x) = 1, also x = 1 für alle x: unmöglich.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Aus e^(ln x) · (ln x)′ = 1 und e^(ln x) = x folgt:

  • ● (ln x)′ = 1/x
  • ○ (ln x)′ = x
  • ○ (ln x)′ = 1/ln x
Einsetzen von e^(ln x) = x gibt x · (ln x)′ = 1, also (ln x)′ = 1/x. „x“ wäre falsch gekürzt, „1/ln x“ ersetzt x durch ln x.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Punkt liegt bei x = 2 auf dem Graphen von ln. Welche Steigung hat der Graph dort?

  • ● 0,5
  • ○ 2
  • ○ 0,69
(ln x)′ = 1/x, an der Stelle 2 also 1/2 = 0,5. Die 2 ist nur die Stelle selbst, 0,69 der Funktionswert ln 2 ≈ 0,69.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Der Graph von ln steigt überall. Also ist die Steigung von ln an der Stelle x = 100 positiv.

✓ Wahr
(ln x)′ = 1/x, an der Stelle 100 also 1/100 = 0,01 > 0: positiv, aber winzig, der Graph ist dort schon sehr flach.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Wie groß ist die Steigung von ln an der Stelle x = e?

  • ● 1/e ≈ 0,37
  • ○ 1
  • ○ 0
Die Steigung ist 1/x = 1/e ≈ 0,37. Die 1 ist der Funktionswert ln e, nicht die Steigung. Die 0 entsteht, wenn man erst e einsetzt und dann ableitet ((ln e)′ = 1′ = 0); abgeleitet wird aber zuerst die Funktion, eingesetzt danach.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Es gilt (ln 5)′ = 1/5.

✓ Falsch
ln 5 ≈ 1,61 ist eine feste Zahl, ihre Ableitung ist 0. Erst (ln x)′ = 1/x, danach x = 5 einsetzen, ergibt 1/5.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Tangente an eˣ im Punkt P hat die Steigung 4. Welche Steigung hat die Tangente an ln im Spiegelpunkt von P?

✓ Antwort: 0.25
Die Steigung im Spiegelpunkt ist der Kehrwert: 1/4 = 0,25.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: Aus x · (ln x)′ = 1 folgt (ln x)′ = 1/___

✓ Antwort: x
Beide Seiten durch x teilen (x > 0): (ln x)′ = 1/x.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne die Steigung von ln an der Stelle x = 8 (auf 0,001 genau).

✓ Antwort: 0.125
(ln x)′ = 1/x, also 1/8 = 0,125.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Die Tangente an eˣ an der Stelle x = 2 hat die Steigung e². Welche Steigung hat ln im Spiegelpunkt (e² | 2)? (auf 0,001 genau)

✓ Antwort: 0.1353
Kehrwert: 1/e² = 1/7,39 ≈ 0,1353. (Passt zu 1/x mit x = e².)
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

In x · (ln x)′ = 1 wird x = 5 eingesetzt. Wie groß ist die Ableitung von ln an der Stelle 5?

✓ Antwort: 0.2
5 · ln′(5) = 1, also ln′(5) = 1/5 = 0,2.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Tangente an ln bei x₀ = 4 hat die Gleichung y = mx + b. Bestimme b (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 0.3863
m = 1/4. Die Tangente geht durch (4 | ln 4): ln 4 = 1/4 · 4 + b ⇒ b = ln 4 − 1 ≈ 1,3863 − 1 ≈ 0,3863.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Leite (ln x)′ = 1/x aus e^(ln x) = x (x > 0) her: Leite beide Seiten ab und begründe jeden Schritt. Bestimme damit die Gleichung der Tangente an ln bei x = 2. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: e^(ln x) = x. Ableiten mit Kettenregel: e^(ln x) · (ln x)′ = 1. Mit e^(ln x) = x: x · (ln x)′ = 1, also (ln x)′ = 1/x. An der Stelle 2: Steigung 1/2, Punkt (2 | ln 2). Tangente: y = ln 2 + (x − 2)/2 = 0,5x + ln 2 − 1 ≈ 0,5x − 0,31.
Die Kettenregel liefert links den Faktor (ln x)′; rechts ist die Ableitung von x gleich 1. Die Tangente: y = ln 2 + 0,5(x − 2).