Funktionen mit ln untersuchen
Für welche x ist f(x) = ln(x − 3) definiert?
Erklärung: Das Argument muss positiv sein: x − 3 > 0 ⇔ x > 3. „x > −3“ liest die Verschiebung falsch herum, bei x = 3 wäre das Argument 0 und ln 0 gibt es nicht („x ≥ 3“).
Der Graph gehört zu f(x) = ln(x + 2) − 1. Welche Gleichung hat seine senkrechte Asymptote?
Erklärung: Die Asymptote liegt dort, wo das Argument 0 wird: x + 2 = 0 ⇔ x = −2. Das „− 1“ verschiebt den Graphen nach unten, nicht die Asymptote; und + 2 verschiebt nach links, nicht nach rechts.
Für welche x ist f(x) = ln(4 − 2x) definiert?
Erklärung: 4 − 2x > 0 ⇔ 4 > 2x ⇔ x < 2. Beim Teilen durch −2 kehrt sich das Zeichen um („x > 2“ wäre falsch); „x < 4“ vergisst den Faktor 2.
Für f(x) = ln(x² − 4) gehört x = −3 zur Definitionsmenge.
Erklärung: (−3)² − 4 = 5 > 0. Die Bedingung x² − 4 > 0 gilt für x < −2 und für x > 2, also auch links.
f(x) = ln(2x − 6) ist für x > a definiert. Bestimme a.
Erklärung: 2x − 6 > 0 ⇔ x > 3, also a = 3.
Wie viele der Zahlen −2, −1, 0, 1 und 2 gehören zur Definitionsmenge von f(x) = ln(1 − x²)?
Erklärung: 1 − x² > 0 ⇔ x² < 1 ⇔ −1 < x < 1. Von den fünf Zahlen erfüllt nur 0 die Bedingung.
Welche Nullstelle hat f(x) = ln(x − 3)?
Erklärung: ln g = 0 ⇔ g = 1: x − 3 = 1 ⇔ x = 4. Bei x = 3 liegt die Asymptote (ln 0 gibt es nicht), x = 2 wäre 3 − 1 (falsch herum verschoben).
Der Graph von f(x) = x · ln x hat eine Nullstelle bei x = 0.
Erklärung: f ist nur für x > 0 definiert, x = 0 gehört nicht zur Definitionsmenge. Aus x · ln x = 0 folgt ln x = 0, also x = 1 (der Faktor x = 0 scheidet aus).
Der Graph gehört zu f(x) = ln x − 1. Wo schneidet er die x-Achse?
Erklärung: ln x − 1 = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e ≈ 2,72. Bei x = 1 ist ln x = 0, nicht 1 (der Graph von ln x ohne „− 1“ hat dort seine Nullstelle); 1/e gehört zu ln x = −1.
Bestimme die Nullstelle von f(x) = ln x − 2 (auf 0,01 genau).
Erklärung: ln x = 2 ⇒ x = e² ≈ 7,3891.
Bestimme die Nullstelle von f(x) = ln(2x − 4).
Erklärung: ln(2x − 4) = 0 ⇔ 2x − 4 = 1 ⇔ x = 2,5. Probe: 2 · 2,5 − 4 = 1 und ln 1 = 0.
Der senkrechte Abstand zwischen der Geraden y = x und dem Graphen von ln ist d(x) = x − ln x. An welcher Stelle ist er am kleinsten?
Erklärung: d′(x) = 1 − 1/x = 0 ⇔ x = 1; d″(x) = 1/x² > 0 (Minimum), d(1) = 1. „x = e“ und „x = 1/e“ wären die Stellen zu ln x = 1 bzw. ln x = −1.
Die Ableitung von f(x) = x − ln x ist f′(x) = 1 + 1/x.
Erklärung: x′ = 1 und (ln x)′ = 1/x, aber vor ln steht ein Minus: f′(x) = 1 − 1/x.
Für f(x) = x − ln x ist f′(1) = 0 und f″(x) = 1/x². Was liegt bei x = 1 vor?
Erklärung: f″(1) = 1 > 0: Tiefpunkt. Sein y-Wert ist f(1) = 1 − ln 1 = 1, nicht 0 (das wäre ln 1 allein).
Bestimme die Stelle des Extrempunkts von f(x) = x − 2 · ln x.
Erklärung: f′(x) = 1 − 2/x = 0 ⇔ x = 2 (in D = ]0; ∞[).
Wie groß ist der Funktionswert im Tiefpunkt von f(x) = x − 2 · ln x? (auf 0,01 genau)
Erklärung: Der Tiefpunkt liegt bei x = 2: f(2) = 2 − 2 · ln 2 ≈ 2 − 1,3863 = 0,6137. (f″(x) = 2/x² > 0.)
Untersuche f(x) = ln x − x: Gib die Definitionsmenge an, bestimme f′ und f″, die Extremstelle samt Art und Funktionswert, und folgere, ob die Gleichung ln x = x eine Lösung hat.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Erklärung: Das Maximum von f ist −1 < 0, also liegt der Graph von ln überall unter der Geraden y = x.