Funktionen mit ln untersuchen

Investigating functions with ln

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
AnalysisNatürlicher LogarithmusKurvendiskussion

Bei f(x) = ln(g(x)) muss g(x) > 0 gelten; daraus folgen Definitionsmenge und senkrechte Asymptote, und ln g = 0 ⇔ g = 1 liefert die Nullstelle. Extremstellen ergeben sich aus f′(x) = 0 mit Prüfung auf D und der Art über f″, etwa bei ln x − x im Hochpunkt (1 | −1). Der Abschnitt räumt aus, ln(x − c) nach links zu verschieben, ln g = 0 mit g = 0 zu verwechseln, x = 0 als Nullstelle von x·ln x zu nehmen und Lösungen außerhalb von D nicht zu verwerfen. Er bereitet die Anwendungen in Jahrgangsstufe 13 vor.

Definitionsmenge und Nullstelle

Bei muss g(x) > 0 gelten. Für ln(x − 3) folgt x > 3, also ; bei x = 3 liegt die senkrechte Asymptote, denn der Graph von ln ist um 3 nach rechts geschoben, nicht nach links. Für ln(4 − 2x) muss 4 − 2x > 0 sein, also x < 2. Die Nullstelle folgt aus : ln(x − 3) = 0 ⇒ x − 3 = 1 ⇒ x = 4. Bei ist sie . Vorsicht bei Produkten: x · ln x = 0 gilt nur für x = 1, denn x = 0 liegt nicht in D.

Ändere c und d. Was bewegt die Asymptote, und wo liegt die Nullstelle?

Extremstellen

Wie bei jeder Funktion: f′(x) = 0 lösen, die Lösung auf D prüfen, die Art mit f″ bestimmen. Beispiel : liefert x = 1, und . Bei (1 | −1) liegt ein Hochpunkt. Weil −1 der größte Wert von f ist, gilt ln x ≤ x − 1 < x für alle x > 0: Der Graph von ln liegt überall unter der Geraden y = x. Lösungen außerhalb von D werden verworfen; bei x − 2 · ln x ergibt f′(x) = 1 − 2/x = 0 die Stelle x = 2.

Ändere x. Bei welchem x ist der Wert von ln x − x am größten?

Voraussetzungen (1)

Die Ableitung von ln
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Für welche x ist f(x) = ln(x − 3) definiert?

  • ● x > 3
  • ○ x > −3
  • ○ x ≥ 3
Das Argument muss positiv sein: x − 3 > 0 ⇔ x > 3. „x > −3“ liest die Verschiebung falsch herum, bei x = 3 wäre das Argument 0 und ln 0 gibt es nicht („x ≥ 3“).
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = ln(x + 2) − 1. Welche Gleichung hat seine senkrechte Asymptote?

  • ● x = −2
  • ○ x = 2
  • ○ x = −1
Die Asymptote liegt dort, wo das Argument 0 wird: x + 2 = 0 ⇔ x = −2. Das „− 1“ verschiebt den Graphen nach unten, nicht die Asymptote; und + 2 verschiebt nach links, nicht nach rechts.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Für welche x ist f(x) = ln(4 − 2x) definiert?

  • ● x < 2
  • ○ x > 2
  • ○ x < 4
4 − 2x > 0 ⇔ 4 > 2x ⇔ x < 2. Beim Teilen durch −2 kehrt sich das Zeichen um („x > 2“ wäre falsch); „x < 4“ vergisst den Faktor 2.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für f(x) = ln(x² − 4) gehört x = −3 zur Definitionsmenge.

✓ Wahr
(−3)² − 4 = 5 > 0. Die Bedingung x² − 4 > 0 gilt für x < −2 und für x > 2, also auch links.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Welche Nullstelle hat f(x) = ln(x − 3)?

  • ● x = 4
  • ○ x = 3
  • ○ x = 2
ln g = 0 ⇔ g = 1: x − 3 = 1 ⇔ x = 4. Bei x = 3 liegt die Asymptote (ln 0 gibt es nicht), x = 2 wäre 3 − 1 (falsch herum verschoben).
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x · ln x hat eine Nullstelle bei x = 0.

✓ Falsch
f ist nur für x > 0 definiert, x = 0 gehört nicht zur Definitionsmenge. Aus x · ln x = 0 folgt ln x = 0, also x = 1 (der Faktor x = 0 scheidet aus).
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Graph gehört zu f(x) = ln x − 1. Wo schneidet er die x-Achse?

  • ● x = e ≈ 2,72
  • ○ x = 1
  • ○ x = 1/e ≈ 0,37
ln x − 1 = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e ≈ 2,72. Bei x = 1 ist ln x = 0, nicht 1 (der Graph von ln x ohne „− 1“ hat dort seine Nullstelle); 1/e gehört zu ln x = −1.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Der senkrechte Abstand zwischen der Geraden y = x und dem Graphen von ln ist d(x) = x − ln x. An welcher Stelle ist er am kleinsten?

  • ● x = 1
  • ○ x = e
  • ○ x = 1/e
d′(x) = 1 − 1/x = 0 ⇔ x = 1; d″(x) = 1/x² > 0 (Minimum), d(1) = 1. „x = e“ und „x = 1/e“ wären die Stellen zu ln x = 1 bzw. ln x = −1.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Ableitung von f(x) = x − ln x ist f′(x) = 1 + 1/x.

✓ Falsch
x′ = 1 und (ln x)′ = 1/x, aber vor ln steht ein Minus: f′(x) = 1 − 1/x.
Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Für f(x) = x − ln x ist f′(1) = 0 und f″(x) = 1/x². Was liegt bei x = 1 vor?

  • ● Tiefpunkt (1 | 1)
  • ○ Hochpunkt (1 | 1)
  • ○ Tiefpunkt (1 | 0)
f″(1) = 1 > 0: Tiefpunkt. Sein y-Wert ist f(1) = 1 − ln 1 = 1, nicht 0 (das wäre ln 1 allein).
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

f(x) = ln(2x − 6) ist für x > a definiert. Bestimme a.

✓ Antwort: 3
2x − 6 > 0 ⇔ x > 3, also a = 3.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bestimme die Nullstelle von f(x) = ln x − 2 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: 7.3891
ln x = 2 ⇒ x = e² ≈ 7,3891.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Bestimme die Stelle des Extrempunkts von f(x) = x − 2 · ln x.

✓ Antwort: 2
f′(x) = 1 − 2/x = 0 ⇔ x = 2 (in D = ]0; ∞[).
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen −2, −1, 0, 1 und 2 gehören zur Definitionsmenge von f(x) = ln(1 − x²)?

✓ Antwort: 1
1 − x² > 0 ⇔ x² < 1 ⇔ −1 < x < 1. Von den fünf Zahlen erfüllt nur 0 die Bedingung.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bestimme die Nullstelle von f(x) = ln(2x − 4).

✓ Antwort: 2.5
ln(2x − 4) = 0 ⇔ 2x − 4 = 1 ⇔ x = 2,5. Probe: 2 · 2,5 − 4 = 1 und ln 1 = 0.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie groß ist der Funktionswert im Tiefpunkt von f(x) = x − 2 · ln x? (auf 0,01 genau)

✓ Antwort: 0.6137
Der Tiefpunkt liegt bei x = 2: f(2) = 2 − 2 · ln 2 ≈ 2 − 1,3863 = 0,6137. (f″(x) = 2/x² > 0.)
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Untersuche f(x) = ln x − x: Gib die Definitionsmenge an, bestimme f′ und f″, die Extremstelle samt Art und Funktionswert, und folgere, ob die Gleichung ln x = x eine Lösung hat. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ]0; ∞[. f′(x) = 1/x − 1 = 0 ⇒ x = 1 (in D). f″(x) = −1/x², f″(1) = −1 < 0: Hochpunkt (1 | −1). Da f(1) = −1 der größte Wert ist, gilt f(x) ≤ −1 < 0 für alle x > 0; ln x = x hat keine Lösung.
Das Maximum von f ist −1 < 0, also liegt der Graph von ln überall unter der Geraden y = x.