Der Graph von ln
Der Punkt (2 | 7,39) liegt auf dem Graphen von eËŁ. Welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen von ln?
ErklĂ€rung: Spiegelt man an y = x, werden die Koordinaten vertauscht: (7,39 | 2). Der Punkt (â2 | 7,39) ist das Spiegelbild an der y-Achse, (2 | â7,39) das an der x-Achse.
Spiegelt man den Graphen von eËŁ an der gestrichelten Geraden y = x, so entsteht der Graph von ln. Dieser schneidet die y-Achse.
ErklĂ€rung: Der Graph von eËŁ liegt ganz oberhalb der x-Achse und berĂŒhrt sie nicht. Sein Spiegelbild liegt deshalb ganz rechts von der y-Achse: ln ist fĂŒr x †0 nicht definiert und schneidet die y-Achse nicht. Die x-Achse schneidet ln bei x = 1.
Welche der Kurven A, B, C ist der Graph von ln?
ErklĂ€rung: ln entsteht aus eËŁ durch Spiegelung an y = x: Der Graph steigt und liegt rechts von der y-Achse (Kurve B). Kurve A ist das Spiegelbild an der y-Achse (e^(âx)), Kurve C das an der x-Achse (âeËŁ).
Der Punkt (3 | 20,09) liegt auf dem Graphen von eËŁ. Der Spiegelpunkt an y = x liegt auf dem Graphen von ln. Wie lautet seine x-Koordinate?
ErklÀrung: Beim Spiegeln an y = x werden die Koordinaten vertauscht: (3 | 20,09) wird zu (20,09 | 3). Die x-Koordinate ist 20,09; es gilt ln 20,09 = 3.
Auf dem Graphen von eËŁ liegt der Punkt (â1,5 | 0,2231). Welchen Wert hat ln 0,2231 (auf 0,1 genau)?
ErklĂ€rung: Der Spiegelpunkt (0,2231 | â1,5) liegt auf dem Graphen von ln, also ist ln 0,2231 = â1,5. Probe: e^(â1,5) â 0,2231.
FĂŒr welche der Zahlen ist ln nicht definiert?
ErklĂ€rung: ln x ist nur fĂŒr x > 0 definiert, denn eËŁ nimmt keinen Wert †0 an. Auch die kleine Zahl 0,001 ist erlaubt (ln 0,001 â â6,91); die 0 selbst nicht.
Die Gleichung ln x = â8 hat eine Lösung.
ErklĂ€rung: ln x = â8 heiĂt x = eâ»âž â 0,000335. Zu jeder Zahl c gibt es ein x mit ln x = c: Die Wertemenge von ln ist ganz â, obwohl der Graph immer flacher wird und die y-Achse nur als Asymptote berĂŒhrt.
Der Graph von ln kommt fĂŒr x â 0 einer senkrechten Geraden beliebig nah. Welche Gleichung hat sie?
ErklÀrung: Beim Spiegeln an y = x wird die waagerechte Asymptote y = 0 von eˣ zur senkrechten Asymptote x = 0 von ln (der y-Achse). Bei x = 1 liegt die Nullstelle, nicht die Asymptote.
ErgĂ€nze: Die Definitionsmenge von ln ist D = ]___; â[
ErklĂ€rung: ln x gibt es nur fĂŒr positive x, also D = ]0; â[.
FĂŒr wie viele der Zahlen â3, â0,5, 0, 0,5 und 3 ist ln definiert?
ErklĂ€rung: Nur positive Zahlen sind erlaubt: 0,5 und 3. Bei â3, â0,5 und 0 gibt es kein ln.
Der Punkt liegt auf dem Graphen von ln bei x = 0,3. Welches Vorzeichen hat ln 0,3?
ErklĂ€rung: FĂŒr 0 < x < 1 liegt der Graph unter der x-Achse: ln 0,3 = â1,20 < 0. Der Wert null gehört nur zu x = 1.
Es ist ln 1 = 0, und ln steigt. Also ist ln 0,99 positiv.
ErklĂ€rung: ln 0,99 â â0,01005 < 0. Links von x = 1 liegt der Graph unter der x-Achse; positiv wird ln erst fĂŒr x > 1.
Es ist ln 1000 â 6,91. Welchen Wert hat ln 1 000 000?
ErklĂ€rung: ln wĂ€chst sehr langsam: ln 1 000 000 â 13,82, nur doppelt so viel wie ln 1000. Ein Faktor 1000 im Argument ist kein Faktor 1000 im Wert (6907,76); eine obere Schranke wie 6,91 gibt es aber auch nicht.
Berechne ln 0,1 (auf 0,01 genau).
ErklĂ€rung: 0,1 < 1, also ist ln 0,1 negativ: ln 0,1 â â2,3026.
Um wie viel steigt ln beim Ăbergang von x = 100 auf x = 110? (auf 0,001 genau)
ErklĂ€rung: ln 110 â ln 100 â 4,7005 â 4,6052 â 0,095. Der Graph ist dort schon sehr flach; zwischen 1 und 11 wĂ€re der Zuwachs 2,40.
Zeichne den Graphen von eËŁ fĂŒr â2 †x †2 mit den Punkten (â1 | 0,37), (0 | 1), (1 | 2,72) und (2 | 7,39) und die Gerade y = x. Spiegele die Punkte und zeichne den Graphen von ln. Gib Definitionsmenge, Wertemenge, Nullstelle und Asymptote von ln an.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
ErklÀrung: Die Spiegelung an y = x vertauscht die Koordinaten. Aus der waagerechten Asymptote y = 0 von eˣ wird die senkrechte Asymptote x = 0 von ln; D(ln) = W(eˣ) und W(ln) = D(eˣ).