Der Graph von ln

The graph of ln

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
AnalysisNatürlicher LogarithmusLogarithmus

Der Graph von ln entsteht aus dem von eˣ durch Spiegelung an y = x: Liegt (a | b) auf eˣ, so liegt (b | a) auf ln. Daraus folgen D = ]0; ∞[, W = ℝ, die senkrechte Asymptote x = 0, die Nullstelle x = 1 und der streng monoton steigende, immer flachere Verlauf. Der Abschnitt räumt aus, den Graphen an einer Achse zu spiegeln, ln(−2) oder ln 0 zu berechnen und „flacher werdend“ mit „nach oben beschränkt“ gleichzusetzen. Er bereitet die Ableitung und die Grenzwerte vor.

Spiegelung an y = x

Was eˣ tut, macht ln rückgängig. Liegt der Punkt auf dem Graphen von eˣ, so gilt , also : Der Punkt liegt auf dem Graphen von ln. Vertauschte Koordinaten bedeuten eine Spiegelung an der Geraden y = x. Der Graph von ln entsteht also aus dem von eˣ durch Spiegelung an y = x, nicht an einer Achse: (0 | 1) wird zu (1 | 0) und (1 | e) zu (e | 1). Beide Achsen müssen gleich skaliert sein, sonst wirkt das Spiegelbild verzerrt. Zur Probe: Aus (2 | 7,39) auf eˣ wird (7,39 | 2), und tatsächlich ist ln 7,39 ≈ 2.

Verschiebe P auf dem Graphen von eˣ. Wo liegt P′, wenn P links der y-Achse dicht an der x-Achse ist?

Definitionsmenge, Nullstelle und Verlauf

Der Graph von eˣ liegt ganz über der x-Achse und kommt ihr links beliebig nahe. Gespiegelt heißt das: ln ist nur für x > 0 definiert, , und die y-Achse ist senkrechte Asymptote. Weil eˣ jeden positiven Wert annimmt, ist . Die Nullstelle liegt bei x = 1, denn ln 1 = 0. Für 0 < x < 1 ist ln x negativ, für x > 1 positiv. Die Funktion steigt streng monoton, aber immer flacher: ln 10 ≈ 2,30, ln 100 ≈ 4,61, ln 1000 ≈ 6,91. Flach heißt nicht beschränkt, denn ln(e¹⁰⁰) = 100. Für ln x = 10 muss man bis x ≈ 22 026 gehen.

Ziehe x nach rechts und nach links. Wo ist ln x negativ, und wie schnell wächst es rechts?

Voraussetzungen (1)

Der natürliche Logarithmus
Klasse 12
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Ermöglicht (1)

Die Ableitung von ln
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Der Punkt (2 | 7,39) liegt auf dem Graphen von eˣ. Welcher Punkt liegt dann auf dem Graphen von ln?

  • ● (7,39 | 2)
  • ○ (−2 | 7,39)
  • ○ (2 | −7,39)
Spiegelt man an y = x, werden die Koordinaten vertauscht: (7,39 | 2). Der Punkt (−2 | 7,39) ist das Spiegelbild an der y-Achse, (2 | −7,39) das an der x-Achse.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Spiegelt man den Graphen von eˣ an der gestrichelten Geraden y = x, so entsteht der Graph von ln. Dieser schneidet die y-Achse.

✓ Falsch
Der Graph von eˣ liegt ganz oberhalb der x-Achse und berührt sie nicht. Sein Spiegelbild liegt deshalb ganz rechts von der y-Achse: ln ist für x ≤ 0 nicht definiert und schneidet die y-Achse nicht. Die x-Achse schneidet ln bei x = 1.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Welche der Kurven A, B, C ist der Graph von ln?

  • ● Kurve B
  • ○ Kurve A
  • ○ Kurve C
ln entsteht aus eˣ durch Spiegelung an y = x: Der Graph steigt und liegt rechts von der y-Achse (Kurve B). Kurve A ist das Spiegelbild an der y-Achse (e^(−x)), Kurve C das an der x-Achse (−eˣ).
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Für welche der Zahlen ist ln nicht definiert?

  • ● 0
  • ○ 0,001
  • ○ 1000
ln x ist nur für x > 0 definiert, denn eˣ nimmt keinen Wert ≤ 0 an. Auch die kleine Zahl 0,001 ist erlaubt (ln 0,001 ≈ −6,91); die 0 selbst nicht.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Gleichung ln x = −8 hat eine Lösung.

✓ Wahr
ln x = −8 heißt x = e⁻⁸ ≈ 0,000335. Zu jeder Zahl c gibt es ein x mit ln x = c: Die Wertemenge von ln ist ganz ℝ, obwohl der Graph immer flacher wird und die y-Achse nur als Asymptote berührt.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Der Graph von ln kommt für x → 0 einer senkrechten Geraden beliebig nah. Welche Gleichung hat sie?

  • ● x = 0
  • ○ y = 0
  • ○ x = 1
Beim Spiegeln an y = x wird die waagerechte Asymptote y = 0 von eˣ zur senkrechten Asymptote x = 0 von ln (der y-Achse). Bei x = 1 liegt die Nullstelle, nicht die Asymptote.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Der Punkt liegt auf dem Graphen von ln bei x = 0,3. Welches Vorzeichen hat ln 0,3?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
Für 0 < x < 1 liegt der Graph unter der x-Achse: ln 0,3 = −1,20 < 0. Der Wert null gehört nur zu x = 1.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Es ist ln 1 = 0, und ln steigt. Also ist ln 0,99 positiv.

✓ Falsch
ln 0,99 ≈ −0,01005 < 0. Links von x = 1 liegt der Graph unter der x-Achse; positiv wird ln erst für x > 1.
Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Es ist ln 1000 ≈ 6,91. Welchen Wert hat ln 1 000 000?

  • ● 13,82
  • ○ 6907,76
  • ○ 6,91
ln wächst sehr langsam: ln 1 000 000 ≈ 13,82, nur doppelt so viel wie ln 1000. Ein Faktor 1000 im Argument ist kein Faktor 1000 im Wert (6907,76); eine obere Schranke wie 6,91 gibt es aber auch nicht.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Punkt (3 | 20,09) liegt auf dem Graphen von eˣ. Der Spiegelpunkt an y = x liegt auf dem Graphen von ln. Wie lautet seine x-Koordinate?

✓ Antwort: 20.09
Beim Spiegeln an y = x werden die Koordinaten vertauscht: (3 | 20,09) wird zu (20,09 | 3). Die x-Koordinate ist 20,09; es gilt ln 20,09 = 3.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: Die Definitionsmenge von ln ist D = ]___; ∞[

✓ Antwort: 0
ln x gibt es nur für positive x, also D = ]0; ∞[.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne ln 0,1 (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: -2.3026
0,1 < 1, also ist ln 0,1 negativ: ln 0,1 ≈ −2,3026.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Auf dem Graphen von eˣ liegt der Punkt (−1,5 | 0,2231). Welchen Wert hat ln 0,2231 (auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: -1.5
Der Spiegelpunkt (0,2231 | −1,5) liegt auf dem Graphen von ln, also ist ln 0,2231 = −1,5. Probe: e^(−1,5) ≈ 0,2231.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für wie viele der Zahlen −3, −0,5, 0, 0,5 und 3 ist ln definiert?

✓ Antwort: 2
Nur positive Zahlen sind erlaubt: 0,5 und 3. Bei −3, −0,5 und 0 gibt es kein ln.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Um wie viel steigt ln beim Übergang von x = 100 auf x = 110? (auf 0,001 genau)

✓ Antwort: 0.0953
ln 110 − ln 100 ≈ 4,7005 − 4,6052 ≈ 0,095. Der Graph ist dort schon sehr flach; zwischen 1 und 11 wäre der Zuwachs 2,40.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeichne den Graphen von eˣ für −2 ≤ x ≤ 2 mit den Punkten (−1 | 0,37), (0 | 1), (1 | 2,72) und (2 | 7,39) und die Gerade y = x. Spiegele die Punkte und zeichne den Graphen von ln. Gib Definitionsmenge, Wertemenge, Nullstelle und Asymptote von ln an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit eˣ, y = x und den gespiegelten Punkten (0,37 | −1), (1 | 0), (2,72 | 1), (7,39 | 2); ln verläuft durch diese Punkte. D = ]0; ∞[, W = ℝ, Nullstelle x = 1, senkrechte Asymptote x = 0.
Die Spiegelung an y = x vertauscht die Koordinaten. Aus der waagerechten Asymptote y = 0 von eˣ wird die senkrechte Asymptote x = 0 von ln; D(ln) = W(eˣ) und W(ln) = D(eˣ).