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ln gegen Potenzen

17 Aufgaben · interaktiv

Die Abbildung zeigt ln x und √x. Wie verhält sich der Quotient ln x / √x für sehr große x?

Erklärung: √x wächst schneller als ln x: Bei x = 10⁶ ist ln x ≈ 13,82, √x = 1000, der Quotient nur 0,014. Der Grenzwert von ln x / xⁿ ist 0. Dass beide gegen ∞ gehen, sagt nichts über den Quotienten.

Bei x = 60 liegt x^(1/4) über ln x.

Erklärung: ln 60 ≈ 4,09, aber 60^(1/4) ≈ 2,78: Bei x = 60 liegt noch ln x oben. Erst weit rechts, bei x ≈ 5500, überholt x^(1/4) den Logarithmus. Das ändert nichts am Grenzwert: ln x / x^(1/4) → 0.

Wie groß ist ln x / x² bei x = 1000?

Erklärung: ln 1000 ≈ 6,91 und 1000² = 1 000 000, der Quotient ist ≈ 0,0000069. Wer nur durch 1000 teilt, erhält 0,0069; 6,91 ist ln 1000 allein.

Berechne ln 1000 / 1000 (auf 0,0001 genau).

Erklärung: ln 1000 ≈ 6,9078, geteilt durch 1000 ergibt ≈ 0,00691.

Bestimme lim (x → ∞) (ln x + x) / x.

Erklärung: (ln x + x)/x = ln x / x + 1. Wegen ln x / x → 0 strebt der Term gegen 0 + 1 = 1.

Wogegen strebt x · ln x für x → 0⁺?

Erklärung: Der Faktor ln x geht nach −∞, der Faktor x nach 0. Die Potenz gewinnt: x · ln x → 0. Das Muster „0 · (−∞) ist −∞“ stimmt nicht.

Für 0 < x < 1 liegt der Graph von x · ln x unterhalb der x-Achse.

Erklärung: Für 0 < x < 1 ist x > 0 und ln x < 0, also x · ln x < 0. Der Tiefpunkt liegt bei x = 1/e mit dem Wert −1/e ≈ −0,37.

Wie groß ist x · ln x bei x = 0,001?

Erklärung: ln 0,001 ≈ −6,91; mal 0,001 ergibt ≈ −0,0069. Das ist schon nahe 0. −6,91 ist nur ln 0,001 ohne den Faktor x.

Für x → 0⁺ strebt x² · ln x gegen −∞, weil ln x gegen −∞ strebt.

Erklärung: Die Potenz x² geht schneller gegen 0, als ln x gegen −∞: xⁿ · ln x → 0 für jedes n > 0. Zum Beispiel ist bei x = 0,001 der Wert x² · ln x ≈ −0,000007.

Berechne x · ln x für x = 1/e (auf 0,01 genau).

Erklärung: ln(1/e) = −1, also x · ln x = (1/e) · (−1) = −1/e ≈ −0,3679. Das ist der Tiefpunkt des Graphen.

Bestimme lim (x → 0⁺) (x · ln x + 3).

Erklärung: x · ln x → 0, also strebt der ganze Term gegen 0 + 3 = 3.

Für welches x ist ln x = 100?

Erklärung: ln x = 100 ⇔ x = e¹⁰⁰ ≈ 2,7 · 10⁴³. Zu jedem Wert gibt es ein x: ln x ist nach oben nicht beschränkt, auch wenn man extrem weit rechts suchen muss.

Es gibt ein x, für das ln x größer als 1000 ist.

Erklärung: ln x > 1000 ⇔ x > e¹⁰⁰⁰ (etwa 2 · 10⁴³⁴). Dieses x ist riesig, aber es existiert: ln x ist nach oben nicht beschränkt, auch wenn der Graph immer flacher wird.

Wie verhält sich ln x für x → 0⁺?

Erklärung: Die y-Achse ist senkrechte Asymptote: Für kleine positive x ist ln x sehr negativ (ln 0,001 ≈ −6,91), und es wird beliebig klein.

Für welches x ist ln x = 10? (auf ganze Zahlen gerundet)

Erklärung: x = e¹⁰ ≈ 22026. Der Logarithmus wächst so langsam, dass man x ≈ 22 000 braucht, um 10 zu erreichen.

Ab welcher kleinsten ganzen Zahl x gilt ln x > 5?

Erklärung: ln x > 5 ⇔ x > e⁵ ≈ 148,41. Die kleinste ganze Zahl darüber ist 149.

Zeige mit der Substitution x = 1/u, dass x · ln x für x → 0⁺ gegen 0 strebt. Benutze dabei, dass ln u / u für u → ∞ gegen 0 strebt, und bestimme x · ln x für x = 10⁻⁶ (auf zwei gültige Ziffern). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

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Erklärung: ln(1/u) = −ln u macht aus x · ln x den Quotienten −(ln u)/u, dessen Grenzwert schon bekannt ist.

Aufgabe 1 von 17