ln gegen Potenzen

ln against powers

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben
AnalysisNatürlicher LogarithmusGrenzwerte

ln x wächst für x → ∞ ohne Schranke, aber langsamer als jede Potenz: ln x / xⁿ → 0. Für x → 0⁺ strebt ln x nach −∞, doch xⁿ · ln x → 0, weil die Potenz gewinnt; die Substitution x = 1/u führt auf den ersten Grenzwert zurück, und ln x = t mit x = eᵗ auf xⁿ/eˣ aus dem e-Funktion-Kurs. Der Abschnitt räumt aus, „flacher werdend“ mit „beschränkt“ gleichzusetzen, „beide gehen gegen ∞“ als Quotienten 1 oder ∞ zu lesen und xⁿ · ln x als 0 · (−∞) = −∞ zu deuten. Er bereitet das Verhalten am Rand in Jahrgangsstufe 13 vor.

ln wächst, aber langsam

ln x wird für x → ∞ beliebig groß, aber sehr langsam: ln 1000 ≈ 6,91 und ln 10⁶ ≈ 13,8. Jede Potenz xⁿ mit n > 0 wächst schneller:

Begründung: Mit x = eᵗ (t → ∞) ist ln x / xⁿ = t / e^(nt), und e^(nt) wächst schneller als jede Potenz von t, wie im Kurs über die e-Funktion. Beispiel: Bei x = 10⁶ ist ln x ≈ 13,8, aber √x = 1000; der Quotient beträgt nur 0,014. Selbst x^(1/4) überholt ln x erst bei x ≈ 5500. Flach heißt nicht beschränkt: ln x strebt weiter gegen ∞, nur langsamer als jede Potenz.

Ändere x und p. Wo liegt die Potenz über ln x, und wie verändert sich der Quotient rechts?

Nahe bei null

Für x → 0⁺ geht , aber der Faktor xⁿ drückt gegen null, und er gewinnt:

Mit x = 1/u (u → ∞) wird daraus xⁿ · ln x = −(ln u)/uⁿ, und das strebt nach dem ersten Grenzwert gegen 0. Beispiel: Bei x = 0,001 ist x · ln x ≈ −0,0069. Der Graph von x · ln x kommt aus dem Ursprung, fällt bis zum Tiefpunkt bei x = 1/e mit dem Wert −1/e ≈ −0,37 und steigt dann; bei x = 0 ist f nicht definiert, aber der Graph endet dort im Punkt (0 | 0).

Graph von x · ln x für 0 < x ≤ 2 −0,5 0 0,5 1 1,5 0 0,5 1 1,5 2 x · ln x x
Der Graph von x · ln x: Tiefpunkt bei x = 1/e, Nullstelle bei x = 1.

Voraussetzungen (1)

Logarithmenregeln
Klasse 12
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Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt ln x und √x. Wie verhält sich der Quotient ln x / √x für sehr große x?

  • ● Er wird beliebig klein
  • ○ Er wird beliebig groß
  • ○ Er nähert sich 1
√x wächst schneller als ln x: Bei x = 10⁶ ist ln x ≈ 13,82, √x = 1000, der Quotient nur 0,014. Der Grenzwert von ln x / xⁿ ist 0. Dass beide gegen ∞ gehen, sagt nichts über den Quotienten.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei x = 60 liegt x^(1/4) über ln x.

✓ Falsch
ln 60 ≈ 4,09, aber 60^(1/4) ≈ 2,78: Bei x = 60 liegt noch ln x oben. Erst weit rechts, bei x ≈ 5500, überholt x^(1/4) den Logarithmus. Das ändert nichts am Grenzwert: ln x / x^(1/4) → 0.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Wie groß ist ln x / x² bei x = 1000?

  • ● 0,0000069
  • ○ 0,0069
  • ○ 6,91
ln 1000 ≈ 6,91 und 1000² = 1 000 000, der Quotient ist ≈ 0,0000069. Wer nur durch 1000 teilt, erhält 0,0069; 6,91 ist ln 1000 allein.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Wogegen strebt x · ln x für x → 0⁺?

  • ● 0
  • ○ −∞
  • ○ −1
Der Faktor ln x geht nach −∞, der Faktor x nach 0. Die Potenz gewinnt: x · ln x → 0. Das Muster „0 · (−∞) ist −∞“ stimmt nicht.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für 0 < x < 1 liegt der Graph von x · ln x unterhalb der x-Achse.

✓ Wahr
Für 0 < x < 1 ist x > 0 und ln x < 0, also x · ln x < 0. Der Tiefpunkt liegt bei x = 1/e mit dem Wert −1/e ≈ −0,37.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Wie groß ist x · ln x bei x = 0,001?

  • ● −0,0069
  • ○ −6,91
  • ○ −0,691
ln 0,001 ≈ −6,91; mal 0,001 ergibt ≈ −0,0069. Das ist schon nahe 0. −6,91 ist nur ln 0,001 ohne den Faktor x.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für x → 0⁺ strebt x² · ln x gegen −∞, weil ln x gegen −∞ strebt.

✓ Falsch
Die Potenz x² geht schneller gegen 0, als ln x gegen −∞: xⁿ · ln x → 0 für jedes n > 0. Zum Beispiel ist bei x = 0,001 der Wert x² · ln x ≈ −0,000007.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Für welches x ist ln x = 100?

  • ● x = e¹⁰⁰
  • ○ x = 100e
  • ○ x = 100ᵉ
ln x = 100 ⇔ x = e¹⁰⁰ ≈ 2,7 · 10⁴³. Zu jedem Wert gibt es ein x: ln x ist nach oben nicht beschränkt, auch wenn man extrem weit rechts suchen muss.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Es gibt ein x, für das ln x größer als 1000 ist.

✓ Wahr
ln x > 1000 ⇔ x > e¹⁰⁰⁰ (etwa 2 · 10⁴³⁴). Dieses x ist riesig, aber es existiert: ln x ist nach oben nicht beschränkt, auch wenn der Graph immer flacher wird.
Multiple Choice #10 25s ▶ Testen

Wie verhält sich ln x für x → 0⁺?

  • ● Er strebt gegen −∞
  • ○ Er strebt gegen 0
  • ○ Er strebt gegen +∞
Die y-Achse ist senkrechte Asymptote: Für kleine positive x ist ln x sehr negativ (ln 0,001 ≈ −6,91), und es wird beliebig klein.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne ln 1000 / 1000 (auf 0,0001 genau).

✓ Antwort: 0.00691
ln 1000 ≈ 6,9078, geteilt durch 1000 ergibt ≈ 0,00691.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne x · ln x für x = 1/e (auf 0,01 genau).

✓ Antwort: -0.3679
ln(1/e) = −1, also x · ln x = (1/e) · (−1) = −1/e ≈ −0,3679. Das ist der Tiefpunkt des Graphen.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Für welches x ist ln x = 10? (auf ganze Zahlen gerundet)

✓ Antwort: 22026
x = e¹⁰ ≈ 22026. Der Logarithmus wächst so langsam, dass man x ≈ 22 000 braucht, um 10 zu erreichen.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bestimme lim (x → ∞) (ln x + x) / x.

✓ Antwort: 1
(ln x + x)/x = ln x / x + 1. Wegen ln x / x → 0 strebt der Term gegen 0 + 1 = 1.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bestimme lim (x → 0⁺) (x · ln x + 3).

✓ Antwort: 3
x · ln x → 0, also strebt der ganze Term gegen 0 + 3 = 3.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ab welcher kleinsten ganzen Zahl x gilt ln x > 5?

✓ Antwort: 149
ln x > 5 ⇔ x > e⁵ ≈ 148,41. Die kleinste ganze Zahl darüber ist 149.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeige mit der Substitution x = 1/u, dass x · ln x für x → 0⁺ gegen 0 strebt. Benutze dabei, dass ln u / u für u → ∞ gegen 0 strebt, und bestimme x · ln x für x = 10⁻⁶ (auf zwei gültige Ziffern). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x = 1/u, x → 0⁺ ⇔ u → ∞. x · ln x = (1/u) · ln(1/u) = −(ln u)/u. Wegen ln u / u → 0 folgt x · ln x → 0. Für x = 10⁻⁶: 10⁻⁶ · ln 10⁻⁶ ≈ 10⁻⁶ · (−13,8155) ≈ −0,0000138 ≈ −0,000014.
ln(1/u) = −ln u macht aus x · ln x den Quotienten −(ln u)/u, dessen Grenzwert schon bekannt ist.